《高中数学研究性学习案例》一个质点移动问题的探究与推广 王跃进问题（07 年全国高考山东理科题）位于坐标原点的一个质点 p 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是 .质点 p 移动五次后位于点(2,3)的概率是(A) (B) (C) (D)解法一 答案为 B：．因为质点的每一次移动都只有“向上或向右”两种结果，所以五次移动就是五次独立重复试验．设事件 A 为“向右移动一次”,则，要使质点从坐标原点移动五次到达点(2,3)，当且仅当在五次移动中有二次向右、三次向上，故问题的实质就是“在五次独立重复试验中事件 A 恰好发生二次”的伯努利概型，因此所求概率为=（=）．解法二 同解法一可得从坐标原点移动到点(2,3)有=种方法；而质点的每一次移动都有两种等可能的选择，移用心 爱心 专心动五次共有 种结果，故所求概率为（=）．探究 1 在上述问题中，质点 p 的移动路线共有 种，那么这些移动路线的终点都是哪些点？从坐标原点移动到这些终点的概率各是多少？事实上，因为在五次移动中向右移动的次数可以取 0,1,…,5，若向右移动了 k 次（即向上移动 5-k 次），，则终点为（k，5-k），令 k= 0,1,…,5，即得所有 种移动路线的全部六个终点．显然这六个点都在直线上，其中终点为（k，5-k）的移动路线种数和概率分别为和．容易将探究 1 总结为一般性的推广 1：推广 1 设，，位于坐标原点的一个质点按上述问题中的规则移动，向上、向右移动的概率都是 ，则质点移动 n 次的移动路线共有 种，这些移动路线的终点（共个）为（k，n-k），k= 0,1,…,n，它们都在直线上，其中终点为（k，n-k）的移动路线种数、概率分别是、．第 2 页 共 5 页注 在推广 1 中将到达各个终点的路线种数相加，其和应等于全部移动路线种数 ，这样就又得到了我们所熟悉的组合恒等式．在上述问题和推广中，质点向上、向右移动的概率相等，称为等可能移动．一般地，质点向上、向右移动的概率可以相等或不相等，根据 重独立试验伯努利概型可再作推广:推广2 设,,位于坐标原点的一个质点按推广1的规则移动,向上、向右移动的概率分别为,,则质点移动n次后位于点(k，n-k)的概率是．探究 2 位于坐标原点的一个质点按推广 1 的规则移动五次，向上、向右的概率都是 ,问质点经过点(1,1)到达点(2,3)的概率是多少？解法一 利用独立事件的概率来求.设事件 A 为“从坐标原点移动二次到达点...
