1.3.1 利用导数判断函数的单调性

日照实验高中 2007 级数学导学案---导数1.3.1 利用导数判断函数的单调性学习目标：1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法奎屯王新敞新疆学习重点难点：利用导数判断函数单调性奎屯王新敞新疆.自主学习一、知识再现：1. 函数的单调性. 对于任意的两个数 x1，x2∈I，且当 x1＜x2时，都有 f(x1)＜f(x2)，那么函数 f(x)就是区间 I 上的增函数. 对于任意的两个数 x1，x2∈I，且当 x1＜x2时，都有 f(x1)＞f(x2)，那么函数 f(x)就是区间I 上的减函数.2. 导数的概念及其四则运算二、新课探究：1、定义：一般地，设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数，如果在这个区间内0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的增函数；如果在这个区间内0，那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的减函数 奎屯王新敞新疆2、用导数求函数单调区间的步骤：① 求函数 f(x)的导数 f′(x).② 令 f′(x) 0 解不等式，得 x 的范围就是递增区间.③ 令 f′(x) 0 解不等式，得 x 的范围，就是递减区间.3、例题解析：例 1 确定函数 f(x)=x2－2x+4 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(x2－2x+4)′=2x－2. 令 2x－2＞0，解得 x＞1.∴当 x∈(1，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令 2x－2＜0，解得 x＜1.∴当 x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 例 2 确定函数 f(x)=2x3－6x2+7 在哪个区间内是增函数，哪个区间内是减函数.解：f′(x)=(2x3－6x2+7)′=6x2－12x令 6x2－12x＞0，解得 x＞2 或 x＜0∴当 x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.当 x∈(2，+∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数.令 6x2－12x＜0，解得 0＜x＜2.∴当 x∈(0，2)时，f′(x)＜0，f(x)是减函数. 教师备课学习笔记用心 爱心 专心例 3 证明函数 f(x)=在(0，+∞)上是减函数.证法一：(用以前学的方法证)任取两个数 x1，x2∈(0，+∞)设 x1＜x2.f(x1)－f(x2)= x1＞0，x2＞0，∴x1x2＞0 x1＜x2，∴x2－x1＞0， ∴＞0∴f(x1)－f(x2)＞0，即 f(x1)＞f(x2) ∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.证法二：(用导数方法证) f′(x)=( )′=(－1)·x－2=－，x＞0，∴x2＞0，∴－＜0. ∴f′(x)＜0，∴f(x)= 在(0，+∞)上是减函数.例 4 求函数 y=x2(1－x)3的单调区间.解：y′=［x2(1－x)3］′=2x(1－x)3+x2·3(1－x)2·(－1)=x(1－x)2［2(1－x)－3x］=x(1－x)2·(2－5x)令 x(1－x)2(2－5x)＞0...