难点 16 三角函数式的化简与求值三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效果，做到事半功倍.●难点磁场 (★★★★★)已知2 ＜β＜α＜43 ,cos(α－β)=1312 ,sin(α+β)=－53 ,求 sin2α 的值_________.● 案例探究［例1］ 不查表求 sin220°+cos280°+3 cos20°cos80°的值.命题意图：本题主要考查两角和、二倍角公式及降幂求值的方法，对计算能力的要求较高.属于★★★★级题目.知识依托：熟知三角公式并能灵活应用.错解分析：公式不熟，计算易出错.技巧与方法：解法一利用三角公式进行等价变形；解法二转化为函数问题，使解法更简单更精妙，需认真体会.解法一：sin220°+cos280°+3 sin220°cos80°=21 (1－cos40°)+21 (1+cos160°)+ 3 sin20°cos80°=1－21 cos40°+21 cos160°+3 sin20°cos(60°+20°) =1－21 cos40°+21 (cos120°cos40°－sin120°sin40°)+3sin20°(cos60°cos20°－sin60°sin20°) =1－ 21 cos40°－ 41 cos40°－43 sin40°+43 sin40°－ 23 sin220°=1－43 cos40°－43 (1－cos40°)= 41解法二：设 x=sin220°+cos280°+3 sin20°cos80°y=cos220°+sin280°－3 cos20°sin80°，则x+y=1+1－3 sin60°=21 ，x－y=－cos40°+cos160°+3 sin100°=－2sin100°sin60°+3 sin100°=0∴x=y=41 ，即 x=sin220°+cos280°+3 sin20°cos80°=41 .［例2］ 设关于 x 的函数 y=2cos2x－2acosx－(2a+1)的最小值为 f(a)，试确定满足 f(a)=21 的 a 值，并对此时的 a 值求 y 的最大值.命题意图：本题主要考查最值问题、三角函数的有界性、计算能力以及较强的逻辑思维能力.属★★★★★级题目知识依托：二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易考查三角函数的有界性，对区间的分类易出错.技巧与方法：利用等价转化把问题化归为二次函数问题，还要用到配方法、数形结合、分类讲座等.解：由 y=2(cosx－ 2a )2－2242aa及 cosx∈［－1，1］得： f(a))2( 41)22( 122)2( 12aaaaaa f(a)=21 ,∴1－4a=21 a=81 ［2,+∞ )故－22a－2a－1= 21 ，解得：a=－1，此时， y=2(cosx+21 )2+21 ，当 cosx=1 时，即 x=2kπ，k∈Z，ymax=5.［例 3］已知函数 f(x)=2cosxsin(x...
