第一节平面向量的概念及坐标运算考点一平面向量的线性运算及几何意义1.(2015·北京，6)设a，b是非零向量“，a·b＝|a||b|”是“a∥b”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析由数量积定义a·b＝|a|·|b|·cosθ＝|a|·|b|，(θ为a，b夹角)，∴cosθ＝1，θ∈[0°，180°]，∴θ＝0°，∴a∥b；反之，当a∥b时，a，b的夹角θ＝0°或180°，a·b＝±|a|·|b|.答案A2.(2015·四川，2)设向量a＝(2，4)与向量b＝(x，6)共线，则实数x＝()A.2B.3C.4D.6解析a＝(2，4)，b＝(x，6)，∵a∥b，∴4x－2×6＝0，∴x＝3.答案B3.(2014·新课标全国Ⅰ，6)设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则EB＋FC＝()A.ADB.ADC.BCD.BC解析EB＋FC＝(AB＋CB)＋(AC＋BC)＝(AB＋AC)＝AD，故选A.答案A4.(2014·福建，10)设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA＋OB＋OC＋OD等于()A.OMB.2OMC.3OMD.4OM解析依题意知，点M是线段AC的中点，也是线段BD的中点，所以OA＋OC＝2OM，OB＋OD＝2OM，所以OA＋OC＋OB＋OD＝4OM，故选D.答案D5.(2012·四川，7)设a、b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()A.|a|＝|b|且a∥bB.a＝－bC.a∥bD.a＝2b解析由a＝2b可推出a，b方向相同，从而有＝.反之不成立.故选D.答案D6.(2013·四川，12)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，AB＋AD＝λAO.则λ＝________.解析由平行四边形法则可得AB＋AD＝AC＝2AO，所以λ＝2.答案27.(2015·安徽，15)△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB＝2a，AC＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥BC；⑤(4a＋b)⊥BC.解析∵△ABC为边长是2的等边三角形，∴|AB|＝|2a|＝2|a|＝2，从而|a|＝1，故①正确；又BC＝AC－AB＝2a＋b－2a＝b，∴b∥BC，故④正确；又(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0，∴(AB＋AC)⊥BC，即(4a＋b)⊥BC，故⑤正确.答案①④⑤考点二平面向量基本定理及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，2)已知点A(0，1)，B(3，2)，向量AC＝(－4，－3)，则向量BC＝()A.(－7，－4)B.(7，4)C.(－1，4)D.(1，4)解析AB＝(3，1)，AC＝(－4，－3)，BC＝AC－AB＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4).答案A2.(2015·新课标全国Ⅱ，4)已知a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，则(2a＋b)·a＝()A.－1B.0C.1D.2解析因为a＝(1，－1)，b＝(－1，2)，所以2a＋b＝2(1，－1)＋(－1，2)＝(1，0)，得(2a＋b)·a＝(1，0)·(1，－1)＝1，选C.答案C3.(2014·北京，3)已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝()A.(5，7)B.(5，9)C.(3，7)D.(3，9)解析因为a＝(2，4)，b＝(－1，1)，所以2a－b＝(2×2－(－1)，2×4－1)＝(5，7)，选A.答案A4.(2014·广东，3)已知向量a＝(1，2)，b＝(3，1)，则b－a＝()A.(－2，1)B.(2，－1)C.(2，0)D.(4，3)解析由于a＝(1，2)，b＝(3，1)，于是b－a＝(3，1)－(1，2)＝(2，－1)，选B.答案B5.(2012·广东，3)若向量AB＝(1，2)，BC＝(3，4)，则AC等于()A.(4，6)B.(－4，－6)C.(－2，－2)D.(2，2)解析由题AC＝AB＋BC＝(1，2)＋(3，4)＝(4，6).故选A.答案A6.(2012·天津，8)在△ABC中，A＝90°，AB＝1，AC＝2.设点P，Q满足AP＝λAB，AQ＝(1－λ)AC，λ∈R.若BQ·CP＝－2，则λ等于()A.B.C.D.2解析建立平面直角坐标系如图，则B(1，0)，C(0，2)，P(λ，0)，Q(0，2(1－λ)).于是由BQ·CP＝(－1，2(1－λ))·(λ，－2)＝－λ－4(1－λ)＝－2，解得λ＝.故选B.答案B7.(2015·江苏，6)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.解析∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.答案－38.(2013·重庆，14)在OA为边，OB为对角线的矩形中，OA＝(－3，1)，OB＝(－2，k)，则实数k＝________.解析因为AB＝OB－OA＝(1，k－1)，且OA⊥AB，所以OA·AB＝0，即－3×1＋1×(k－1)＝0，解得k＝4.答案49.(2013·山东，15)在平面直角坐标系xOy中，已知OA＝(－1，t)，OB＝(2，2).若∠ABO＝90°，则实数t的值为________.解析∵OA＝(－1，t)，OB＝(2，2)，∴BA＝OA－OB＝(－3，t－2).又∵∠ABO＝90°，∴BA·OB＝0，即(－3，t－2)·(2，2)＝0，－6＋2t－4＝0，∴t＝5.答案5
