2010高三数学高考《三角函数》专题学案：同角三角函数的基本关系及诱导公式

第 2 课时 同角三角函数的基本关系及诱导公式1．同角公式：(1) 平方关系：sin2α＋cos2α＝1，1＋tan2α＝ ，1＋cot2α＝ (2) 商数关系：tanα＝ ，cotα＝ (3) 倒数关系：tanα ＝1，sinα ＝1，cotα ＝12．诱导公式：－απ－απ＋α2π－α2kπ＋αsincossincos规律：奇变偶不变，符号看象限3．同角三角函数的关系式的基本用途：根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式．4．诱导公式的作用：诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为 0°~90º 角的三角函数值．例 1. 已知 f()=;（1）化简 f();（2）若是第三象限角，且 cos，求 f()的值.解 ：（1）f（）==-cos. （2）∵cos=-sin,∴sin=-,cos=-,∴f()=.变式训练 1：已知 A＝则 A 构成的集合是 ( )A．{－1, 1, －2, 2} B．{1, －1}C．{2, －2} D．{－2, －1, 01, 2}解：C典型例题基础过关例 2．求值：(1) 已知，求的值．2) 已知，求下列各式的值．①；②解：（1）；（2）变式训练 2：化简：① ， ② 解：①原式＝sinθ ② 原式＝0例 3. 已知－，sin x＋cos x＝．（1）求 sin x－cos x 的值．（2）求的值．解：( 1 ) －，( 2 ) －变式训练 3：已知 sin +cos=,∈(0,).求值：（1）tan;（2）sin-cos;（3）sin3+cos3.解 方法一 ∵sin+cos=,∈(0,),∴(sin+cos)2==1+2sincos，∴sincos=-＜0.由根与系数的关系知，sin,cos是方程 x2-x-=0 的两根，解方程得 x1=,x2=-.∵sin＞0,cos＜0,∴sin=,cos =-.∴（1）tan=-.（2）sin-cos=.（3）sin3+cos3=.方法二 （1）同方法一.（2）（sin-cos）2=1-2sin·cos=1-2×=.∵sin＞0,cos＜0,∴sin-cos＞0,∴sin-cos=.（3）sin3+cos3=(sin+cos)(sin2-sincos+cos2)=×=.例 4．已知 tan=2,求下列各式的值：（1）;（2） ;（3）4sin2-3sincos-5cos2.解：（1）原式=.（2）.（3）∵sin2+cos2=1,∴4sin2-3sincos-5cos2==.变式训练 4：已知 sin(+k)=-2cos(+k) (k∈Z).求:（1）;（2）sin2+cos2.解：由已知得 cos(+k)≠0,∴tan(+k)=-2(k∈Z),即 tan=-2.（1）.（2）sin2+cos2==.1．求函数的定义域一般有三类问题：一是给出解释式（如例 1），应抓住使整个解式有意义的自变量的集合；二是未给出解析式（如例 2），就应抓住内函数的值域就是外函数的定义域；三是实际问题，此时函数的定义域除使解析式有意义外，还应使实际问题或几何问题有意义.2．求函数的值域没有通用方法和固定模式，除了掌握常用方法（如直接法、单调性法、有界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法）外，应根据问题的不同特点，综合而灵活地选择方法.小结归纳