2010高中数学高考专题讲座：高考中常用的方法

第 8 讲 高考中常用数学的方法------配方法、待定系数法、换元法一、知识整合配方法、待定系数法、换元法是几种常用的数学基本方法.这些方法是数学思想的具体体现,是解决问题的手段,它不仅有明确的内涵,而且具有可操作性,有实施的步骤和作法.配方法是对数学式子进行一种定向的变形技巧,由于这种配成“完全平方”的恒等变形,使问题的结构发生了转化,从中可找到已知与未知之间的联系,促成问题的解决.待定系数法的实质是方程的思想,这个方法是将待定的未知数与已知数统一在方程关系中,从而通过解方程(或方程组)求得未知数.换元法是一种变量代换,它是用一种变数形式去取代另一种变数形式,从而使问题得到简化,换元的实质是转化.二、例题解析例 1．已知长方体的全面积为 11,其 12 条棱的长度之和为 24,则这个长方体的一条对角线长为( ).(A)32(B) 14(C)5(D)6分析及解：设长方体三条棱长分别为 x,y,z,则依条件得： 2(xy+yz+zx)=11,4(x+y+z)=24. 而 欲 求 的 对 角 线 长 为222zyx, 因 此 需 将 对 称 式222zyx写成基本对称式 x+y+z 及 xy+yz+zx 的组合形式,完成这种组合的常用手段是配方法.故)(2)(2222xzyzxyzyxzyx=62-11=25 ∴ 5222zyx,应选 C.例 2．设 F1 和 F2 为双曲线1422 yx的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则ΔF1PF2 的面积是( ). (A)1(B) 25(C)2(D) 5分析及解：欲求||||212121PFPFSFPF(1),而由已知能得到什么呢？由∠F1PF2=90°,得20||||2221 PFPF(2),又根据双曲线的定义得|PF1|-|PF2|=4(3),那么(2)、(3)两式与要求的三角形面积有何联 系 呢 ？ 我 们 发 现 将 (3) 式 完 全 平 方 , 即 可 找 到 三 个 式 子 之 间 的 关 系 . 即16||||2||||||||||212221221PFPFPFPFPFPF,用心 爱心 专心故2421)16|||(|21||||222121PFPFPFPF∴ 1||||212121PFPFSFPF,∴ 选(A).注：配方法实现了“平方和”与“和的平方”的相互转化.例 3．设双曲线的中心是坐标原点,准线平行于 x 轴,离心率为 25,已知点 P(0,5)到该双曲线上的点的最近距离是 2,求双曲线方程.分析及解：由题意可设双曲线方程为12222 bxay, 25e,∴a=2b,因此所求双曲线方程可写成：2224axy (1),故只需求出 a 可求解.设双曲线上点 Q 的坐标为(x,y),则|PQ|=22)5(  yx (2), 点 Q(x,y)在...