第 16 课时：第二章 函数——指数函数与对数函数一．课题：指数函数与对数函数二．教学目标：1．掌握指数函数与对数函数的概念、图象和性质；2．能利用指数函数与对数函数的性质解题．三．教学重点：运用指数函数、对数函数的定义域、单调性解题．四．教学过程：（一）主要知识：1．指数函数、对数函数的概念、图象和性质； 2．同底的指数函数与对数函数互为反函数；（二）主要方法：1．解决与对数函数有关的问题，要特别重视定义域； 2．指数函数、对数函数的单调性决定于底数大于 1 还是小于 1，要注意对底数的讨论；3．比较几个数的大小的常用方法有：①以和 为桥梁；②利用函数的单调性；③作差．（三）例题分析：例 1．（1）若，则，，从小到大依次为 ； （2）若，且， ， 都是正数，则，，从小到大依次为 ； （3）设，且（，），则与的大小关系是（ ） （） （） （） （）解：（1）由得，故． （2）令，则，，，， ∴，∴；同理可得：，∴，∴．（3）取，知选（）．例 2．已知函数，求证：（1）函数在上为增函数；（2）方程没有负数根．证明：（1）设，则用心 爱心 专心1，∵，∴，，，∴；∵，且，∴，∴，∴，即，∴函数在上为增函数；（2）假设是方程的负数根，且，则， 即， ①当时 ,,∴,∴, 而 由知. ∴① 式不成立；当时，，∴，∴，而.∴① 式不成立．综上所述，方程没有负数根．例 3．已知函数（且）．（《高考计划》考点 15，例 4）．求证：（1）函数的图象在轴的一侧； （2）函数图象上任意两点连线的斜率都大于．证明：（1）由得：，∴当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的右侧；当时，，即函数的定义域为，此时函数的图象在轴的左侧．∴函数的图象在轴的一侧；用心 爱心 专心2（2）设、是函数图象上任意两点，且，则直线的斜率，，当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴；当时，由（1）知，∴，∴，∴，∴，又，∴．∴函数图象上任意两点连线的斜率都大于．（四）巩固练习：1．已知函数，若，则、、从小到大依次为；（注：）2．若为方程的解， 为不等式的解， 为方程的解，则、、从小到大依次为；3．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是．用心 爱心 专心3
