4.函数的奇偶性一．知识点1．定义: 设 y=f(x)，定义域为 A，如果对于任意∈A，都有，称 y=f(x)为偶函数。设 y=f(x) ，定义域为 A，如果对于任意∈A，都有，称 y=f(x)为奇函数。如果函数是奇函数或偶函数，则称函数 y=具有奇偶性。2.性质：① 函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称，②y=f(x)是偶函数y=f(x)的图象关于轴对称, y=f(x)是奇函数y=f(x)的图象关于原点对称,③ 偶函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反，奇函数在定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同，④ 若函数 f(x)的定义域关于原点对称，则它可表示为一个奇函数与一个偶函数之和⑤ 奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇[两函数的定义域 D1 ，D2，D1∩D2要关于原点对称]⑥ 对于 F(x)=f[g(x)]:若 g(x)是偶函数，则 F(x)是偶函数若 g(x)是奇函数且 f(x)是奇函数，则 F(x)是奇函数若 g(x)是奇函数且 f(x)是偶函数，则 F(x)是偶函数3．函数奇偶性的判断① 看定义域是否关于原点对称 ；②看 f(x)与 f(-x)的关系；二．例题选讲例 1．判断下列函数的奇偶性(1) ； (2) ; (3) ; (4) 解：（1）定义域为，对称于原点，又，为奇函数（2）由得定义域为，关于原点不对称，所以没有奇、偶性。（3）由且得定义域为，对称于原点，得，知是奇函数（4）定义域为，对称于原点，当时，，所以1当时，，所以，故是奇函数例 2．已知 g(x)为奇函数，，且 f(-3)=，求 f(3)；解：，，将两式相加，结合 g(x)为奇函数，可得：；变式：已知函数 f(x)，当 x<0 时，f(x)=x2+2x-1① 若 f(x)为 R 上的奇函数，能否确定其解析式？请说明理由。② 若 f(x)为 R 上的偶函数，能否确定其解析式？请说明理由。 解：① 可确定: ② 不可确定:处没有定义；例 3．函数的定义域为 D=，且对于任意的，都有 ；（1）求的值； （2）判断的奇偶性并证明；（3）如果，，且在上是增函数，求 的取值范围。 解：（1）令可得：（2）令可得：；再令可得：； 所以：为偶函数（3）， 原不等式可化为：又在上是增函数 解得：或或变式一：定义在实数集上的函数 f(x)，对任意 x，y∈R，有 f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y)且f(0)≠0 ；①求证：f(0)=1 ；②求证：y=f(x)是偶函数；证：①令 x=y=0，则 f(0)+f(0)=2f2(0) f(0)≠0 ∴f(0)=1；② 令 x=0，则 f(y)+f(-y)=2f(0)·f(y)；∴f(-y)=f(y) ； ∴y=f(x)是偶函数；变...
