3.2 等差数列●知识梳理1.等差数列的概念若数列{an}从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则数列{an}叫等差数列.2.通项公式：an=a1+（n－1）d，推广：an=am+（n－m）d.变式：a1=an－（n－1）d，d=，d=，由此联想点列（n，an）所在直线的斜率.3.等差中项：若 a、b、c 成等差数列，则 b 称 a 与 c 的等差中项，且 b=；a、b、c 成等差数列是 2b=a+c 的充要条件.4.前 n 项和：Sn==na1+d=n·an－（n－1）nd.变式：===a1+（n－1）·=an+（n－1）·（－）.●点击双基1.（2003 年全国，文 5）等差数列{an}中，已知 a1=，a2+a5=4，an=33，则 n 是A.48 B.49 C.50 D.51解析：由已知解出公差 d=，再由通项公式得+（n－1）=33，解得 n=50.答案：C2.（2003 年全国，8）已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0 的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m－n|等于A.1B.C.D.解析：设 4 个根分别为 x1、x2、x3、x4，则 x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当 m+n=p+q 时，am+an=ap+aq.设 x1为第一项，x2必为第 4 项，可得数列为， ， ， ，∴m=，n=.∴|m－n|=.答案：C3.（2004 年春季上海，7）在数列{an}中，a1=3，且对任意大于 1 的正整数 n，点（，）在直线 x－y－=0 上，则 an=___________________.解析：将点代入直线方程得－=，由定义知{}是以为首项，以为公差的等差数列，故=n，即 an=3n2.答案：3n214.（2003 年春季上海，12）设 f（x）=，利用课本中推导等差数列前 n 项和的公式的方法，可求得 f（－5）+f（－4）+…+f（0）+…+f（5）+f（6）的值为___________________.解析：倒序相加法，观察函数解析式的特点，得到 f（x）+f（1－x）=，即 f（－5）+ f（6）=，f（－4）+f（5）=，f（－3）+f（4）=，f（－2）+f（3）=，f（－1）+ f（2）=，f（0）+f （1）=，故所求的值为 3.答案：3●典例剖析【例 1】 数列{an}的前 n 项和为 Sn=npan（n∈N*）且 a1≠a2，（1）求常数 p 的值；（2）证明：数列{an}是等差数列.剖析：（1）注意讨论 p 的所有可能值.（2）运用公式 an= 求 an.解：（1）当 n=1 时，a1=pa1，若 p=1 时，a1+a2=2pa2=2a2，∴a1=a2，与已知矛盾，故 p≠1.则 a1=0.当 n=2 时，a1+a2=2pa2，∴（2p－1）a2=0. a1≠a2，故 p=.（2）由已知 Sn=nan，a1=0.n≥2 时，an=Sn－Sn－1=nan－（n－1）an－1.∴=.则=，…，=.∴=n－1.∴an=（n－1）a2，an－an－1=a2....
