3.3 等比数列●知识梳理1.定义数列{an}从第 2 项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列称作等比数列.常数叫公比.2.通项公式：an=a1qn－1，推广形式：an=amqn－m.变式：q=（n、m∈N*）.3.前 n 项和 Sn=注：q≠1 时，=.4.等比中项：若 a、b、c 成等比数列，则 b 为 a、c 的等比中项，且 b=±.5.三个数或四个数成等比数列且又知积时，则三个数可设为、a、aq，四个数可设为、、aq、aq3为好.6.证明等比数列的方法：（1）用定义：只需证=常数；（2）用中项性质：只需an+12=an·an+2或=.●点击双基1.一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角是A.arccos B.arcsin C.arccosD.arcsin解析：设 Rt△ABC 中，C=，则 A 与 B 互余且 A 为最小内角.又由已知得 sin2B=sinA，即cos2A=sinA，1－sin2A=sinA，解之得 sinA=或 sinA=（舍）.答案：B2. 设 {an} 是 由 正 数 组 成 的 等 比 数 列 ， 公 比 q=2 ， 且 a1·a2·a3·…·a30=230 ， 那 么a3·a6·a9·…·a30等于A.210 B.220 C.216 D.215解析：由等比数列的定义，a1·a2·a3=（）3，故 a1·a2·a3·…·a30=（）3.又 q=2，故 a3·a6·a9·…·a30=220.答案：B13.某纯净水制造厂在净化水过程中，每增加一次过滤可减少水中杂质 20%，要使水中杂质减少到原来的 5%以下，则至少需过滤的次数为A.5B.10C.14D.15解析：由题意列式（1－20%）n＜5%，两边取对数得 n＞≈13.4.故 n≥14.答案：C4.（2004 年全国，文 14）已知等比数列 {an}中，a3=3，a10=384，则该数列的通项an=___________________.解析：由已知得 q7==128=27，故 q=2.∴an=a3·qn－3=3·2n－3.答案：3·2n－35.如下图，在杨辉三角中，从上往下数共有 n（n∈N*）行，在这些数中非 1 的数字之和是___________________.11 11 2 11 3 3 11 4 6 4 1……解析：观察可知，第 n（n∈N*）行中有 n 个数，从左向右依次是二项式系数 C，C，C，…，C，故当 n≥3 时，除了 1 外，第 n 行各数的和为 an=C+C+…+C=2n－1－2.又前两行全部为数字 1，故前 n 行非 1 的数字之和为 a3+a4+…+an=－2（n－2）=2n－2n.答案：2n－2n●典例剖析【例 1】 已知等比数列{an}中，a1+a2+a3=7，a1a2a3=8，求 an.剖析：利用等比数列的基本量 a1，q，根据条件求出 a1和 q.解 ： 设 {an} 的 公 比 为 q ， 由 题 意 知解 得或∴an=2n－1或 an=23...
