3.4 等差数列与等比数列的综合问题●知识梳理（一）等差、等比数列的性质1.等差数列{an}的性质（1）am=ak+（m－k）d，d=.（2）若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则数列{λan+b}（λ、b 为常数）是公差为 λd 的等差数列；若{bn}也是公差为 d 的等差数列，则{λ1an+λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等差数列且公差为 λ1d+λ2d.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等差数列，公差为md.（4）若 m、n、l、k∈N*，且 m+n=k+l，则 am+an=ak+al，反之不成立.（5）设 A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则 A、B、C 成等差数列.（6）若数列{an}的项数为 2n（n∈N*），则 S 偶－S 奇=nd，=，S2n=n（an+an+1）（an、an+1为中间两项）；若数列{an}的项数为 2n－1（n∈N*），则 S 奇－S 偶=an，=，S2n－1=（2n－1）an（an为中间项）.2.等比数列{an}的性质（1）am=ak·qm－k.（2）若数列{an}是等比数列，则数列{λ1an}（λ1为常数）是公比为 q 的等比数列；若{bn}也是公比为 q2的等比数列，则{λ1an·λ2bn}（λ1、λ2为常数）也是等比数列，公比为 q·q2.（3）下标成等差数列且公差为 m 的项 ak，ak+m，ak+2m，…组成的数列仍为等比数列，公比为 qm.（4）若 m、n、l、k∈N*，且 m+n=k+l，则 am·an=ak·al，反之不成立.（5）设 A=a1+a2+a3+…+an，B=an+1+an+2+an+3+…+a2n，C=a2n+1+a2n+2+a2n+3+…+a3n，则 A、B、C 成等比数列，设 M=a1·a2·…·an，N=an+1·an+2·…·a2n，P=a2n+1·a2n+2·…·a3n，则 M、N、P 也成等比数列.（二）对于等差、等比数列注意以下设法：如三个数成等差数列，可设为 a－d，a，a+d；若四个符号相同的数成等差数列，知其和，可设为 a－3d，a－d，a+d，a+3d.三个数成等比数列，可设为，a，aq，若四个符号相同的数成等比数列，知其积，可设为，，aq，aq3.（三）用函数的观点理解等差数列、等比数列1.对于等差数列， an=a1+（n－1）d=dn+（a1－d），当 d≠0 时，an是 n 的一次函数，对应的点（n，an）是位于直线上的若干个点.当 d＞0 时，函数是增函数，对应的数列是递增数列；同理 ，d=0 时，函数是常数函数，对应的数列是常数列；d＜0 时，函数是减函数，对应的数列是递减函数.若等差数列的前 n 项和为 Sn，则 Sn=pn2+qn（p、q∈R）.当 p=0 时，{an}为常数列；当 p≠0 时，1可用二次函数的...
