4.4 两角和与差、二倍角的公式（三）●知识梳理1.化简要求（1）能求出值的应求出值.（2）使三角函数种数、项数尽量少；分母尽量不含三角函数；被开方式尽量不含三角函数.2.化简常用方法（1）活用公式（包括正用、逆用、变形用）.（2）切割化弦、异名化同名、异角化同角等.3.常用技巧（1）注意特殊角的三角函数与特殊值的互化.（2）注意利用代数上的一些恒等变形法则和分数的基本性质.（3）注意利用角与角之间的隐含关系.（4）注意利用“1”的恒等变形.●点击双基1.满足 cosαcosβ=+sinαsinβ 的一组 α、β 的值是A.α=，β=B.α=，β=C.α=，β=D.α=，β=解析：由已知得 cos（α+β）=，代入检验得 A.答案：A2.已知 tanα 和 tan（－α）是方程 ax2+bx+c=0 的两个根，则 a、b、c 的关系是A.b=a+cB.2b=a+cC.c=b+aD.c=ab解析：∴tan==1.∴－=1－.∴－b=a－c.∴c=a+b.答案：C3.f（x）=的值域为A.（－－1，－1）∪（－1，－1）B.［，－1）∪（－1，］C.（，）D.［，］1解析：令 t=sinx+cosx=sin（x+）∈［－，－1）∪（－1，］，则 f（x）==∈［，－1）∪（－1，］.答案：B4.已知 cosα－cosβ=，sinα－sinβ=，则 cos（α－β）=_______.解析：（cosα－cosβ）2=，（sinα－sinβ）2=.两式相加，得 2－2cos（α－β）=.∴cos（α－β）=.答案：●典例剖析【例 1】 求证：－2cos（α+β）=.剖析：先转换命题，只需证 sin（2α+β）－2cos（α+β）·sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）－α=β 可证得结论.证明：sin（2α+β）－2cos（α+β）sinα=sin［（α+β）+α］－2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα－2cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα－cos（α+β）sinα=sin［（α+β）－α］=sinβ.两边同除以 sinα 得－2cos（α+β）=.评述：证明三角恒等式，可先从两边的角入手——变角，将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化，然后分析两边的函数名称——变名，将表达式中较多的函数种类尽量减少，这是三角恒等变形的两个基本策略.【例 2】 P 是以 F1、F2为焦点的椭圆上一点，且∠PF1F2=α，∠PF2F1=2α，求证：椭圆的离心率为 e=2cosα－1. 剖析：依据椭圆的定义 2a=|PF1|+|PF2|，2c=|F1F2|，∴e=.在△PF1F2中解此三角即可得证.证明：在△PF1F2中，由正弦定理知==.由比例的性质得=2e======2cosα－1.评述：恰当地利用比例的性质有事半功倍...
