8.6 圆锥曲线的应用●知识梳理解析几何在日常生活中应用广泛，如何把实际问题转化为数学问题是解决应用题的关键，而建立数学模型是实现应用问题向数学问题转化的常用方法.本节主要通过圆锥曲线在实际问题中的应用，说明数学建模的方法，理解函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.●点击双基1.一抛物线型拱桥，当水面离桥顶 2 m 时，水面宽 4 m，若水面下降 1 m 时，则水面宽为A.m B.2m C.4.5 m D.9 m解析：建立适当的直角坐标系，设抛物线方程为 x2=－2Py（P>0），由题意知，抛物线过点（2，－2），∴4=2p×2.∴p=1.∴x2=－2y.当 y0=－3 时，得 x02=6.∴水面宽为 2|x0|=2.答案：B2.某抛物线形拱桥的跨度是 20 m，拱高是 4 m，在建桥时每隔 4 m 需用一柱支撑，其中最长的支柱是A.4 m B.3.84 m C.1.48 m D.2.92 m解析：建立适当坐标系，设抛物线方程为 x2=－2py（p>0），由题意知其过定点（10， －4），代入 x2=－2py，得 p=.∴x2=－25y.当 x0=2 时，y0=，∴最长支柱长为 4－|y0|=4－=3.84（m）.答案：B3.天安门广场，旗杆比华表高，在地面上，观察它们顶端的仰角都相等的各点所在的曲线是A.椭圆 B.圆C.双曲线的一支 D.抛物线解析：设旗杆高为 m，华表高为 n，m＞n.旗杆与华表的距离为 2a，以旗杆与地面的交点和华表与地面的交点的连线段所在直线为 x 轴、垂直平分线为 y 轴建立直角坐标系.设曲线上任一点M（x，y），由题意=，即（m2－n2）x2+（m2－n2）y2－2a（m2－n2）x+ （m2－n2）a2=0.答案：B4.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点，已知灯口直径是 60 cm，灯深 40 cm，则光源到反射镜顶点的距离是____________ cm.解析：设抛物线方程为 y2=2px（p>0），点（40，30）在抛物线 y2=2px 上，∴900=2p×40.∴p=.∴=.因此，光源到反射镜顶点的距离为 cm.答案：5.在相距 1400 m 的 A、B 两哨所，听到炮弹爆炸声音的时间相差 3 s，已知声速 340 m/s.炮弹爆炸点所在曲线的方程为________________.解析：设 M（x，y）为曲线上任一点，则|MA|－|MB|=340×3=1020<1400.1∴M 点轨迹为双曲线，且 a==510，c==700.∴b2=c2－a2=（c+a）（c－a）=1210×190.∴M 点轨迹方程为－=1.答案：－=1●典例剖析【例 1】 设有一颗彗星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此彗星离地球相距 m 万千米和m 万千米时，经过地球和彗星的直线与...
