第四讲 思想方法与规范解答（一）思想方法1．数形结合思想所谓数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想．数形结合思想的应用包括以下两个方面：(1)“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，揭示数学问题的本质；(2)“以数解形”，把直观图形数量化，使形更加精确．本专题中集合的运算、求二次函数的最值，确定函数零点问题、求不等式恒成立中参数等都经常用到数形结合思想．[例 1] (2012 年高考辽宁卷)设函数 f(x)(x∈R)满足 f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当 x∈[0，1]时 ，f(x)＝x3.又函数 g(x)＝|xcos (πx)|，则函数 h(x)＝g(x)－f(x)在[－，]上的零点个数为( )A．5 B．6 C．7 D．8[解析] 根据函数 y＝f(x)的特点确定其性质，然后根据定义域分别作出图象求解．根据题意，函数 y＝f(x)是周期为 2 的偶函数且 0≤x≤1 时，f(x)＝x3，则当－1≤x≤0 时，f(x)＝－x3，且g(x)＝|xcos (πx)|，所以当 x＝0 时，f(x)＝g(x)．当 x≠0 时，若 0
0；② f(0)f(1)<0；1③f(0)f(3)>0；④ f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是( )A．①③ B．①④C．②③ D．②④解析：利用函数的单调性及数形结合思想求解． f′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，由 f′(x)<0，得 10，得 x<1 或 x>3，∴f(x)在区间(1，3)上是减函数，在区间(－∞，1)，(3，＋∞)上是增函数．又 a0，y 极小值＝f(3)＝－abc<0，∴00. 又 x＝1，x＝3 为函数 f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图．∴f(0)<0，∴f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，∴正确结论的序号是②③.答案：C2．分类讨论思想分类讨论思想是由问题的不确定性而引起的，需要按照问题的条件划分为几类，从而解决问题，在本专题中常见的分类讨论思想的运用有以下两个方面：(1)二次函数在给定区间的最值求法，注意对称轴与区间关系；(2)含参数的函...
