2013 年高中数学 1.7 3 定积分及其应用教案 新人教 A 版选修 2-2定积分是积分学中另一个重要概念，是积分学的重要内容，定积分的概念及计算在自然科学和各种实际问题中都有广泛的应用，本章通过两个典型的问题抽象出定积分的概念，然后讨论定积分的性质，揭示定积分与不定积分之间的内在联系，最后简单介绍定积分在几何与力学等方面的应用．第一节 定积分的概念与性质一、定积分问题举例我们先从两个例子谈起．1．曲边梯形的面积设函数在区间上非负且连续，由直线、、 轴和曲线及曲线所围成的图形称为曲边梯形（图 5-1），其中曲线称为曲边． 图 5-1 图 5-2 下面我们讨论曲边梯形面积的求法． 我们知道，矩形的高是不变的，它的面积很容易计算．而曲边梯形的高没有定义，因此它的面积我们没有现成的计算方法．如果我们将上任一点 处的函数值看作为曲边梯形在 处的高，则曲边梯形的高是变化的．但因是区间上的连续函数，所以在一个相当小的区间上，的值变化不大．因此，如果把区间划分为许多小区间，在每个小区间上用某一点 处的值来定义同一个小区间上的窄曲边梯形的高，那么每个窄曲边梯形就可近似地看成这样得到的窄矩形，我们就将所有这些窄矩形面积之和作为曲边梯形面积的近似值（图 5-2）．直观上看，这样的区间越短，这种近似的程度就越高，若把区间无限细分下去，即使每个小区间的长度都趋于零，这时所有窄矩形面积之和的极限就可定义为曲边梯形的面积，这就给出了计算曲边梯形面积的思路，现详述如下：1（1）将区间划分为 个小区间，即在区间内任意插入个分点：，这 个小区间分别为，其长度依次记为．（2）过每个分点作垂直于 轴的直线段，把整个曲边梯形分成 个小曲边梯形，小曲边梯形的面积记为，在每个小区间上任取一点，用以为 底 、为 高 的 窄 矩 形 近 似 代 替 第 个 小 曲 边 梯 形， 则，．这样得到的 个小矩形面积之和显然是所求曲边梯形面积的近似值，即．（3）记，则当时，每个小区间的长度也趋于零．此时和式的极限便是所求曲边梯形面积的精确值．即．2．变速直线运动的路程设物体作变速直线运动，已知其速度是时间 的连续函数，即，计算在时间间隔内物体所经过的路程 ．因为物体作变速直线运动，速度随时间 而不断变化，故不能用匀速直线运动公式：来计算，然而物体运动的速度函数是连续变化的，在很小的一段时间内，速度的2变化很小，近似于等速，在这一小段时间内，速度...
