考研线性代数知识框架-向量三种运算

考研线性代数知识框架 向量三种运算对于矩阵，我们定义了三种运算：加法、数乘、转置和乘法。这些运算可以应用到向量上得到向量的相应运算。向量的加法和数乘合起来称为线性运算。通过线性运算，我们可以定义向量的两个核心概念：线性表出和线性相关。1. 线性表出线性表出，顾名思义，就是用线性的方式表示出来。何为“线性的方式”，怎么表示出来的?我们看一个例子，对于向量组(1 0)，(0 1)和向量(2 3)，(2 3)如何用前两个向量构成的向量组表示?不难发现是(2 3)=2 乘(1 0)+3 乘(0 1)。大家看，等式的右端只有线性运算(加法和数乘)，这就是前面提到的“线性的方式”。这样我们称向量(2 3)可以由向量组(1 0)，(0 1)线性表出。注意到等号右面的式子是用线性的方式把向量(1 0)，(0 1)组合起来了，所以我们称之为(1 0)，(0 1)的一个线性组合。这样我们就对线性组合及线性表出的概念有了个基本认识。这样是否就够了呢?当然不够。我们在学马克思主义哲学时有“由感性认识上升到理性认识”之说。理性认识更深刻，是对事物本质的把握。尽管感性认识、理性认识用在这里未必恰当，但道理是相通的。我们通过例子对概念的理解很难说把握住了概念的本质。要体会其本质，还是要从严格的定义出发。这里要提醒广阔考生：对于考研数学中的一些较难理解的概念，有同学觉得定义太抽象，进而放弃了对定义的理解，而试图通过具体的例子理解概念。觉得弄懂了例子，概念就算是理解了。这是不可靠的。从学知识的角度，弄懂例子谈不上理解了概念的内涵和外延;从考试的角度，考试考查的是考生对概念的理解和运用，某个具体的例子只是一种具体的应用，所以离考试要求有距离。下面我们看一下线性组合和线性表出的定义：对于任意一组实数 k1，k2，…，kn，称 k1 乘 alfa1+ k2 乘alfa2+…+ kn 乘 alfan 为向量组 alfa1，alfa2，…，alfan 的一个线性组合。注意到对于同一个向量组，给定一组实数，则得到一个线性组合，可见一个向量组的线性组合有无穷多个。若向量 beta 能写成 alfa1，alfa2，…，alfan 的一个线性组合，则称向量 beta 能由向量组 alfa1，alfa2，…，alfan 线性表出。关于线性表出的定义需注意以下几点：(1)实数 k1，k2，…，kn(或称组合系数)可以全为零，这和线性相关的定义不同。(2)零向量可以由任何同维的向量组线性表出(把实数 k1，k2，…，kn 取成全为零即可)。(3)向量组里任何一个向量可由向量组线性表出(把该向量...