2.9 函数模型及其应用典例精析题型一 运用指数模型求解【例 1】按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a 元，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x，写出本利和 y 随期数 x 的变化函数式.如果存入本金 10 000 元，每期利率为 2.25%，计算 5 期的本息和是多少？【解析】已知本金为 a 元，1 期后的本利和为 y1＝a＋a×r＝a(1＋r)；2 期后的本利和为 y2＝a(1＋r)＋a(1＋r)r＝a(1＋r)2；3 期后的本利和为 y3＝a(1＋r)2＋a(1＋r)2r＝a(1＋r)3； ⋮ ⋮x 期后的本利和为 y＝a(1＋r)x.将 a＝10 000， r＝2.25%， x＝5 代入上式得y＝10 000(1＋2.25%)5＝11 176.8，所以 5 期后的本利和是 11 176.8 元.【点拨】在实际问题中，常遇到有关平均增长率的问题，如果原来产值的基础数为 N，平均增长率为 p，则总产值 y 与时间 x 的关系为 y＝N(1＋p )x.【变式训练 1】某工厂去年十二月的产值为 a，已知月平均增长率为 p，则今年十二月的月产值较去年同期增长的倍数是( )A.(1＋p)12－1B.(1＋p)12C.(1＋p)11D.12p【解析】今年十二月产值为 a(1＋p)12，去年十二月产值为 a，故比去年增长了[(1＋p)12－1]a，故选 A.题型二 分段函数建模求解【例 2】在对口脱贫活动中，为了尽快脱贫(无债务)致富，企业甲经营状况良好的某种消费品专卖点以 5.8 万元的优惠价格转给尚有 5 万元无息贷款没有偿还的小型残病人企业乙，并约定从该经营利润中，首先保证企业乙的全体职工每月的最低生活费开支 3600 元后，逐步偿还转让费(不计息). 在甲提供资料中有：①这种消费品的进价每件 14 元；②该店月销售量Q(百件)与销价 p(元)关系如图；③每月需各种开支 2 000 元.(1)试问为使该店至少能维持职工生活，商品价格应控制在何种范围？(2)当商品价格为每件多少元时，月利润扣除职工最低生活费的余额最大？并求最大余额；(3)企业乙只依靠该厂，最早可望几年后脱贫？【解析】设该店月利润额为 L，则由假设得L＝Q(p－14)×100－3 600－2 000，①1(1)当 14≤p≤20 时，由 L≥0 得 18≤p≤20，当 20＜p≤26 时，由 L≥0 得 20＜p≤22，故商店销售价应控制在 18≤p≤22 之内.(2)当 18≤p≤20 时，L 最大＝450元，此时，p＝19.5 元.当 20＜p≤22 时，L 最大＝416 元，此时，p＝20 元.故 p＝19.5 元时，月利润最大余额为 450 元.(3)设可在 n 年内脱贫，依题意得12n×450－50 000－58 000≥0，...
