3.3 导数的应用(二)典例精析题型一 利用导数证明不等式【例 1】已知函数 f(x)＝x2＋ln x.(1)求函数 f(x)在区间[1，e]上的值域；(2)求证：x＞1 时，f(x)＜x3.【解析】(1)由已知 f′(x)＝x＋，当 x∈[1，e]时，f′(x)＞0，因此 f(x)在 [1，e]上为增函数.故 f(x)max＝f(e)＝＋1，f(x)min＝f(1)＝，因而 f(x)在区间[1，e]上的值域为[，＋1].(2)证明：令 F(x)＝f(x)－x3＝－x3＋x2＋ln x，则 F′(x)＝x＋－2x2＝，因为 x＞1，所以 F′(x)＜0，故 F(x)在(1，＋∞)上为减函数.又 F(1)＝－＜0，故 x＞1 时，F(x)＜0 恒成立，即 f(x)＜x3.【点拨】有关“超越性不等式”的证明，构造函数，应用导数确定所构造函数的单调性是常用的证明方法.【变式训练 1】已知对任意实数 x，有 f(－x)＝－f(x)，g(－x)＝g(x)，且 x＞0 时，f′(x)＞0，g′(x)＞0，则 x＜0 时( )A.f′(x)＞0，g′(x)＞0B.f′(x)＞0，g′(x)＜0C.f′(x)＜0，g′(x)＞0D.f′(x)＜0，g′(x)＜0【解析】选 B.题型二 优化问题【例 2】 (2012 湖南模拟)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两个桥墩相距 m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算，一个桥墩的工程费用为 256 万元；距离为 x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋)x 万元.假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素.记余下工程的费用为 y 万元.(1)试写出 y 关于 x 的函数关系式；(2)当 m＝640 米时，需新建多少个桥墩才能使 y 最小？【解析】(1)设需新建 n 个桥墩，则(n＋1)x＝m，即 n＝－1.所以 y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋)x＝256(－1)＋(2＋)x＝＋m＋2m－256.(2)由(1)知 f′(x)＝－＋mx21＝(x23－512).令 f′(x)＝0，得 x23＝512.所以 x＝64.当 0＜x＜64 时，f′(x)＜0，f(x)在区间(0,64)内为减函数；当 64＜x＜640 时，f′(x)＞0 ，f(x)在区间(64,640)内为增函数.所以 f(x)在 x＝64 处取得最小值.此时 n＝－1＝－1＝9.1故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小.【变式训练 2】(2013 上海质检)如图所示，为了制作一个圆柱形灯笼，先要制作 4 个全等的矩形骨架，总计耗用 9.6 米铁丝，骨架把圆柱底面 8 等份，再用 S 平方米塑料片制成圆柱的侧面和下底面(不安装上底面).当圆柱底面半径 r 取何值时，S 取得最大值？并求出该最大值(结果精确到 0.01 平方米).【解析】设圆柱底面半径为 r，高为 h，则由已知可得 4(4r...
