4 三角恒等变换典例精析题型一 三角函数的求值【例 1】已知 0＜α＜，0＜β＜，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求 α＋β 的值
【解析】由 4tan ＝1－tan2，得 tan α＝2 tan12 tan22 ＝
由 3sin β＝sin(2α＋β)得 3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以 3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即 2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以 tan(α＋β)＝2tan α＝1
又因为 α、β∈(0，)，所以 α＋β＝
【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住 已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向
【变式训练 1】如果 tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么 tan(α＋)等于( )A
【解析】因为 α＋＝(α＋β)－(β－)，所以 tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝
题型二 等式的证明【例 2】求证：＝－2cos(α＋β)
【证明】证法一：右边＝＝＝＝＝左边
证法二：－＝＝＝2cos(α＋β)，所以－2cos(α＋β)＝
【点拨】证法一将 2α＋β 写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖
【变式训练 2】已知 5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0
【证明】因为 5sin α＝3sin(α－2β)，所以 5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所 以 5sin(α － β)cos β ＋ 5cos(α － β)sin β ＝ 3sin(α － β)cos β － 3cos(
