5.4 三角恒等变换典例精析题型一 三角函数的求值【例 1】已知 0＜α＜，0＜β＜，3sin β＝sin(2α＋β)，4tan ＝1－tan2，求 α＋β 的值.【解析】由 4tan ＝1－tan2，得 tan α＝2 tan12 tan22 ＝.由 3sin β＝sin(2α＋β)得 3sin[(α＋β)－α]＝sin[(α＋β)＋α]，所以 3sin(α＋β)cos α－3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α，即 2sin(α＋β)cos α＝4cos(α＋β)sin α，所以 tan(α＋β)＝2tan α＝1.又因为 α、β∈(0，)，所以 α＋β＝.【点拨】三角函数式的化简与求值的主要过程是三角变换，要善于抓住 已知条件与目标之间的结构联系，找到解题的突破口与方向.【变式训练 1】如果 tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，那么 tan(α＋)等于( )A. B. C. D.【解析】因为 α＋＝(α＋β)－(β－)，所以 tan(α＋)＝tan[(α＋β)－(β－)]＝＝.故选 C.题型二 等式的证明【例 2】求证：＝－2cos(α＋β).【证明】证法一：右边＝＝＝＝＝左边.证法二：－＝＝＝2cos(α＋β)，所以－2cos(α＋β)＝.【点拨】证法一将 2α＋β 写成(α＋β)＋α，使右端的角形式上一致，易于共同运算；证法二把握结构特征，用“变更问题法”证明，简捷而新颖.【变式训练 2】已知 5sin α＝3sin(α－2β)，求证：tan(α－β)＋4tan β＝0.【证明】因为 5sin α＝3sin(α－2β)，所以 5sin[(α－β)＋β]＝3sin[(α－β)－β]，所 以 5sin(α － β)cos β ＋ 5cos(α － β)sin β ＝ 3sin(α － β)cos β － 3cos(α －β)sin β，所以 2sin(α－β)cos β＋8cos(α－β)sin β＝0.即 tan(α－β)＋4tan β＝0.题型三 三角恒等变换的应用【例 3】已知△ABC 是非直角三角形.(1)求证：tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C；(2)若 A＞B 且 tan A＝－2tan B，求证：tan C＝；(3)在(2)的条件下，求 tan C 的最大值.【解析】(1)因为 C＝π－(A＋B)，所以 tan C＝－tan(A＋B)＝，1所以 tan C－tan Atan Btan C＝－tan A－tan B，即 tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C.(2)由(1)知 tan C＝＝＝＝)2cos2(22 sinBB＝＝.(3)由(2)知 tan C＝＝≤＝，当且仅当 2tan B＝，即 tan B＝时，等号成立.所以 tan C 的最大值为.【点拨】熟练掌握三角变换公式并灵活地运用来解决与三角形有关的问题，要有较明确的目标...
