第5讲椭圆板块四模拟演练·提能增分[A级基础达标]1．[2016·湖北八校联考]设F1，F2为椭圆＋＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为()A.B.C.D.答案B解析由题意知a＝3，b＝，c＝2.设线段PF1的中点为M，则有OM∥PF2， OM⊥F1F2，∴PF2⊥F1F2，∴|PF2|＝＝.又 |PF1|＋|PF2|＝2a＝6，∴|PF1|＝2a－|PF2|＝，∴＝×＝.故选B.2．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0)，离心率等于，则C的方程是()A.＋＝1B.＋＝1C.＋＝1D.＋＝1答案D解析依题意，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c＝1，e＝＝⇒a＝2，b2＝a2－c2＝3，因此椭圆C的方程是＋＝1.3．“－3b>0)的一个焦点是圆x2＋y2－6x＋8＝0的圆心，且短轴长为8，则椭圆的左顶点为()A．(－3,0)B．(－4,0)C．(－10,0)D．(－5,0)答案D解析圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝1，∴圆心坐标是(3,0)，∴c＝3.又b＝4，∴a＝＝5. 椭圆的焦点在x轴上，∴椭圆的左顶点为(－5,0)．故选D.5．[2018·黑龙江双鸭山模拟]过椭圆＋＝1(a>b>0)的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为()A.B.C.D.答案B解析 过椭圆的两个焦点作垂直于x轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，∴c＝，即ac＝a2－c2，∴e2＋e－1＝0， 02，解得0b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．答案解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)分别代入椭圆方程相减得＋＝0，根据题意有x1＋x2＝2×1＝2，y1＋y2＝2×1＝2，且＝－，所以＋×＝0，得a2＝2b2，所以a2＝2(a2－c2)，整理得a2＝2c2，得＝，所以e＝.9．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为e＝，其左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2，设点M(x1，y1)，N(x2，y2)是椭圆上不同两点，且这两点分别与坐标原点的连线的斜率之积为－.(1)求椭圆C的方程；(2)求证：x＋x为定值，并求该定值．解(1) c＝，e＝，∴a＝2，b2＝a2－c2＝1，则椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由于·＝－，则x1x2＝－4y1y2，xx＝16yy.而＋y＝1，＋y＝1，则1－＝y，1－＝y，∴＝yy，则(4－x)(4－x)＝16yy，(4－x)(4－x)＝xx，展开得x＋x＝4为一定值．10．[2018·山东模拟]已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点和短轴的两个端点都在圆x2＋y2＝1上．(1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为k的直线过点M(2,0)，且与椭圆C相交于A，B两点，试探讨k为何值时，OA⊥OB.解(1)依题意b＝1，c＝1，所以a2＝2.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝k(x－2...
