7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题典例精析题型一 平面区域【例 1】已知函数 f(x)的定义域为[－2，＋∞)，且 f(4)＝f(－2)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，函数 y＝f′(x)的图象如图所示，则平面区域1)2(,0,0bafba所围成的面积是( ) A.2B.4C.5D.8【解析】选 B.由 f′(x)的图象可知，f(x)在[－2,0]上是减函数，在[0，＋∞)上是增函数.因为 f(－2)＝f(4)＝1，所以当且仅当 x∈(－2,4)时，有 f(x)＜f(－2)＝f(4)＝1.作出可行域如图所示，其围成的图形面积为 4.【点拨】不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.【变式训练 1】若 a≥0，b≥0，且当1,0,0yxyx时，恒有 ax＋by≤1，则以 a，b 为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积是() A.B.C.1D.【解析】选 C.当 a＝b＝1 时，满足 x＋y≤1，且可知 0≤a≤1，0≤b≤1，所以点 P(a，b)所形成的平面区域为边长为 1 的正方形，所以面积为 1.本题关键是确定点所形成的区域形状.题型二 利用线性规划求最值(1)z＝x＋2y－4 的最大值；(2)z＝x2＋y2－10y＋25 的最小值；(3)z＝的取值范围.【解析】作出可行域如图所示，并求出顶点的坐标 A(1,3)，B(3,1)，C(7,9).( 1)易知直线x＋2y－4＝z 过点 C 时，z 最大.所以 x＝7，y＝9 时，z 取最大值 21.(2)z＝x2＋(y－5)2 表示可行域内任一点(x，y)到定点 M(0,5)的距离的平1方，过点 M 作直线 AC 的垂线，易知垂足 N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是()2＝.(3)z＝2·表示可行域内任一点(x，y)与定点 Q(－1，－)连线斜率的 2 倍.因为 kQA＝，kQB＝，所以 z 的取值范围为[，].【点拨】线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处或边界上取得，充分理解目标函数赋予的几何意义是本例的关键.【变式训练 2】已知函数 f(x)＝x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，求a＋b 的最小值.【解析】因为 f′(x)＝x2＋2ax－b，f(x)在区间[－1,3]上是减函数.所以 f′(x)≤0 在[－1,3]上恒成立.则作出点(a，b)表示的平面区域.令 z＝a＋b，求出直线－2a－b＋1＝0 与 6a－b＋9＝0 的交点 A 的坐标为(－1,3).当直线 z＝a＋b 过点 A(－1,3)时，z＝a＋b 取最小值 2.题型三 线性规划的实际应用【例 3】某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有 72 m3，第二种有...
