9.5 圆锥曲线综合问题典例精析题型一 求轨迹方程【例 1】已知抛物线的方程为 x2＝2y，F 是抛物线的焦点，过点 F 的直线 l 与抛物线交于 A、B两点，分别过点 A、B 作抛物线的两条切线 l1 和 l2，记 l1 和 l2 交于点 M.(1)求证：l1⊥l2；(2)求点 M 的轨迹方程.【解析】(1)依题意，直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y＝kx＋.联立 22121xykxy消去 y 整理得 x2－2kx－1＝0.设 A 的坐标为(x1，y1)，B 的坐标为(x2，y2)，则有 x1x2＝－1，将抛物线方程改写为 y＝x2，求导得 y′＝x.所以过点 A 的切线 l1 的斜率是 k1＝x1，过点 B 的切线 l2 的斜率是 k2＝x2.因为 k1k2＝x1x2＝－1，所以 l1⊥l2.(2)直线 l1 的方程为 y－y1＝k1(x－x1)，即 y－＝x1(x－x1).同理直线 l2 的方程为 y－＝x2(x－x2).联立这两个方程消去 y 得－＝x2(x－x2)－x1(x－x1)，整理得(x1－x2)(x－)＝0，注意到 x1≠x2，所以 x＝.此时 y＝＋x1(x－x1)＝＋x1(－x1)＝＝－.由(1)知 x1＋x2＝2k，所以 x＝＝k∈R.所以点 M 的轨迹方程是 y＝－.【点拨】直接法是求轨迹方程最重要的方法之一，本题用的就是直接法.要注意“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形态的对应关系了如指掌.【变式训练 1】已知△ABC 的顶点为 A(－5,0)，B(5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线 x＝3 上，则顶点 C 的轨迹方程是( )A.－＝1B.－＝1C.－＝1(x＞3)D.－＝1(x＞4)【解析】如图，|AD|＝|AE|＝8，|BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝8－2＝6，根据双曲线定义，所求轨迹是以 A、B 为焦点，实轴长为 6 的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞3)，故选 C.题型二 圆锥曲线的有关最值【例 2】已知菱形 ABCD 的顶点 A、C 在椭圆 x2＋3y2＝4 上，对角线 BD 所在直线的斜率为 1.当∠ABC＝60°时，求菱形 ABCD 面积的最大值.【解析】因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥BD.于是可设直线 AC 的方程为 y＝－x＋n.由 nxyyx,4322得 4x2－6nx＋3n2－4＝0.因为 A，C 在椭圆上，所以 Δ＝－12n2＋64＞0，解得－＜n＜.1设 A，C 两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则 x1＋x2＝，x1x2＝，y1＝－x1＋n，y2＝－x2＋n. 所以 y1＋y2＝.因为四边形 ABCD 为菱形，且∠...
