12.5 古典概型典例精析题型一 古典概率模型的计算问题【例 1】一汽车厂生产 A、B、C 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表(单位:辆),轿车 A轿车 B轿车 C舒适型100150z标准型300450600现按分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类 10 辆.(1)求 z 的值;(2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,将该样本视为一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率;(3)用随机抽样方法从 B 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4,8.6,9.2,9.6,8.7,9.3,9.0,8.2 把这 8 辆车的得分看成一个总体,从中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率.【解析】(1)依题意知,从每层抽取的比率为,从而轿车的总数为 50×40=2 000 辆,所以 z=2 000-100-150-300-450-600=400.(2)由(1)知 C 类轿车共 1 000 辆,又样本容量为 5,故抽取的比率为,即 5 辆轿车中有 2 辆舒适型、3 辆标准型,任取 2 辆,一共有 n=10 种不同取法,记事件 A:至少有 1 辆舒适型轿车,则事件 A 表示抽取到 2 辆标准型轿车,有 m′=3 种不同取法,从而事件 A 包含:基本事件数为 m=7 种,所以 P(A)=.(3)样本平均数 x =×(9.4+8.6+9.2+9.6+8.7+9.3+9.0+8.2)=9.0,记事件 B:从样本中任取一数,该数与样本平均数的绝对值不超过 0.5,则事件 B 包含的基本事件有 6 种,所以 P(B)==.【点拨】利用古典概型求事件的概率时,主要弄清基本事件的总数,及所求事件所含的基本事件的个数.【变式训练 1】已知△ABC 的三边是 10 以内(不包含 10)的三个连续的正整数,求任取一个△ABC 是锐角三角形的概率.【解析】依题意不妨设 a=n-1,b=n,c=n+1(n>1,n∈N),从而有 a+b>c,即 n>2,所以△ABC 的最小边为 2,要使△ABC 是锐角三角形,只需△ABC 的最大角 C 是锐角,cos C==>0,所以 n>4,所以,要使△ABC 是锐角三角形,△ABC 的最小边为 4.另一方面,从{2,3,4,…,9}中,“任取三个连续正整数”共有 6 种基本情况,“△ABC 是锐角三角形”包含 4 种情况,故所求的概率为=.题型二 有放回抽样与不放回抽样【例 2】 现有一批产品共有 10 件,其中 8 件为正品,2 件为次品.(1)如果从中取出一件,然后放回,再取一件,求连续 3 次取出的都...