12.10 离散型随机变量的期望与方差典例精析题型一 期望与方差的性质的应用【例 1】设随机变量 ξ 的分布列为 P(ξ＝k)＝(k＝1,2,3,4,5,6)，求 E(ξ)，E(2ξ＋3)和D(ξ)，D(2ξ＋3).【解析】E(ξ)＝x1p1＋x2p2＋…＋x6p6＝3.5，E(2ξ＋3)＝2E(ξ)＋3＝10，D(ξ)＝(x1－E(ξ))2p1＋(x2－E(ξ))2p2＋…＋(x6－E(ξ))2p6＝ ，D(2ξ＋3)＝4D(ξ)＝.【点拨】在计算离散型随机变量的期望与方差时，首先要弄清其分布特征及分布 列，再准确运用公式，特别是利用性质解题.【变式训练 1】袋中有 20 个大小相同的球，其中记上 0 号的有 10 个，记上 n 号的有 n 个(n＝1,2,3,4).现从袋中任取一球，ξ 表示所取球的标号.(1)求 ξ 的分布列、期望和方差；(2)若 η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，试求 a，b 的值.【解析】(1)ξ 的分布列为：ξ01234P2120110120351 所以 E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝1.5，D(ξ)＝(0－1.5)2×＋(1－1.5)2×＋(2－1.5)2×＋(3－1.5)2×＋(4－1.5)2×＝2.75.(2)由 D(η)＝a2D(ξ)，得 a2×2.75＝11，即 a＝±2.又 E(η)＝aE(ξ)＋b，所以当 a＝2 时，由 1＝2×1.5＋b，得 b＝－2；当 a＝－2 时，由 1＝－2×1.5＋b，得 b＝4.所以 2,2ba或 .4,2ba题型二 期望与方差在风险决策中的应用【例 2】 甲、乙两名工人加工同一种零件，两人每天加工的零件数相等，所得次品数分别为ξ、η，ξ 和 η 的分布列如下：ξ012P106101103η012P105103102试对这两名工人的技术水平进行比较.【解析】工人甲生产出的次品数 ξ 的期望和方差分别为：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＝0.7，D(ξ)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.81.1工人乙生产出的次品数 η 的期望和方差分别为：E(η)＝0×＋1×＋2×＝0.7，D(η)＝(0－0.7)2×＋(1－0.7)2×＋(2－0.7)2×＝0.61.由 E(ξ)＝E(η)知，两人出次品的平均数相同，技术水平相当，但 D(ξ)＞D(η)，可见乙的技术比较稳定.【点拨】期望仅体现了随机变量取值的平均大小，但有时仅知道均值的大小还不够.如果两个随机变量的均值相等，还要看随机变量的取值如何在均值周围变化，即计算方差.方差大说明随机变量取值较分散，方差小说明取值分散性小或者取值比较集中、稳定. 【变式训练 2】利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是 .【解析】利用方案 A1、A2、A3、A4 盈利的期望分别是：50×0.25＋65×0.30＋26×0.4...
