2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质典例精析题型一 切线的判定和性质的运用【例 1】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D，DE⊥AC，交AC 的延 长线于点 E，OE 交 AD 于点 F
(1)求证：DE是⊙O 的切线；(2)若＝，求的值
【解析】(1)证明：连接 OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，所以 OD∥AE，又 AE⊥DE，所以 DE⊥OD，又 OD 为半径，所以 DE 是⊙O 的切线
(2)过 D 作 DH⊥AB 于 H，则有∠DOH＝∠CAB，＝cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝，设 OD＝5x，则 AB＝10x，OH＝2x，所以 AH＝7x
由△AED≌△AHD 可得 AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DOF 可得 AF∶DF＝AE∶OD＝，所以＝
【变式训练 1】已知在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交AB 于点 D，连接 DO 并延长交 AC 的延长线于点 E，⊙O 的切线 DF 交 AC 于点 F
(1)求证：AF＝CF；(2)若 ED＝4，sin∠E＝，求 CE 的长
【解析】(1)方法一：设线段 FD 延长线上一点 G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO ＝，所以∠ADF＋∠BDO＝，又因为在⊙O 中 OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝
在 Rt△ABC 中，∠A＋∠CBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以 AF＝FD
又在 Rt△ABC 中，直角边 BC 为⊙O 的直径，所以 AC 为⊙O 的切线，又 FD 为⊙O 的切线，所以 FD＝CF
所以 AF＝CF
方法二：在直角三角形 ABC 中，直角边 BC 为⊙O 的直径，所以 AC 为⊙O 的切线，又 FD 为⊙O 的切线，所以 FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD
又由 BC 为⊙O
