16.2 直线与圆的位置关系和圆锥曲线的性质典例精析题型一 切线的判定和性质的运用【例 1】如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是弦，∠BAC 的平分线 AD 交⊙O 于点 D，DE⊥AC，交AC 的延 长线于点 E，OE 交 AD 于点 F.(1)求证：DE是⊙O 的切线；(2)若＝，求的值.【解析】(1)证明：连接 OD，可得∠ODA＝∠OAD＝∠DAC，所以 OD∥AE，又 AE⊥DE，所以 DE⊥OD，又 OD 为半径，所以 DE 是⊙O 的切线.(2)过 D 作 DH⊥AB 于 H，则有∠DOH＝∠CAB，＝cos∠DOH＝cos∠CAB＝＝，设 OD＝5x，则 AB＝10x，OH＝2x，所以 AH＝7x.由△AED≌△AHD 可得 AE＝AH＝7x，又由△AEF∽△DOF 可得 AF∶DF＝AE∶OD＝，所以＝.【变式训练 1】已知在直角三角形 ABC 中，∠ACB＝90°，以 BC 为直径的⊙O 交AB 于点 D，连接 DO 并延长交 AC 的延长线于点 E，⊙O 的切线 DF 交 AC 于点 F.(1)求证：AF＝CF；(2)若 ED＝4，sin∠E＝，求 CE 的长.【解析】(1)方法一：设线段 FD 延长线上一点 G，则∠GDB＝∠ADF，且∠GDB＋∠BDO ＝，所以∠ADF＋∠BDO＝，又因为在⊙O 中 OD＝OB，∠BDO＝∠OBD，所以∠ADF＋∠OBD＝.在 Rt△ABC 中，∠A＋∠CBA＝，所以∠A＝∠ADF，所以 AF＝FD.又在 Rt△ABC 中，直角边 BC 为⊙O 的直径，所以 AC 为⊙O 的切线，又 FD 为⊙O 的切线，所以 FD＝CF.所以 AF＝CF.方法二：在直角三角形 ABC 中，直角边 BC 为⊙O 的直径，所以 AC 为⊙O 的切线，又 FD 为⊙O 的切线，所以 FD＝CF，且∠FDC＝∠FCD.又由 BC 为⊙O 的直径可知，∠ADF＋∠FDC＝，∠A＋∠FCD＝，所以∠ADF＝∠A，所以 FD＝AF.所以 AF＝CF.(2)因为在直角三角形 FED 中，ED＝4，sin∠E＝，所以 cos∠E＝，所以 FE＝5.又 FD＝3＝FC，所以 CE＝2.题型二 圆中有关定理的综合应用【例 2】如图所示，已知⊙O1 与⊙O2相交于 A、B 两点，过点 A 作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P.1(1)求证：AD∥EC；(2)若 AD 是⊙O2 的切线，且 PA＝6，PC＝2，BD＝9，求 AD 的长.【解析】(1)连接 AB，因为 AC 是⊙O1 的切线，所以∠BAC＝∠D，又因为∠BAC＝∠E，所以∠D＝∠E，所以 AD∥EC.(2)方法一：因为 PA 是⊙O1 的切线，PD 是⊙O1 的割线，所以 PA2＝PB·PD，所以 62＝PB·(PB＋9)，所以 PB＝3.在⊙O2...
