18.2 不等式的证明(一)典例精析题型一 用综合法证明不等式【例 1】 若 a，b，c 为不全相等的正数，求证：lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.【证明】 由 a，b，c 为正数，得lg ≥lg ；lg ≥lg ；lg ≥lg .而 a，b，c 不全相等，所以 lg ＋lg ＋lg ＞lg ＋lg ＋lg ＝lg ＝lg(abc)＝lg a＋lg b＋lg c.即 lg ＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c.【点拨】 本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依据(是一个定理)，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练 1】已知 a，b，c，d 都是实数，且 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求证：|ac＋bd|≤1.【证明】因为 a，b，c，d 都是实数，所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤＋＝.又因为 a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.题型二 用作差法证明不等式 【例 2】 设 a，b，c 为△ABC 的三边，求证：a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).【证明】a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＝(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2－a2－b2－c2 ＝[(a－b)2－c2]＋[(b－c)2－a2]＋[(c－a)2－b2].而在△ABC 中，＜c，所以(a－b)2＜c2，即(a－b)2－c2＜0.同理(a－c)2－b2＜0，(b－c)2－a2＜0，所以 a2＋b2＋c2－2(ab＋bc＋ca)＜0.故 a2＋b2＋c2＜2(ab＋bc＋ca).【点拨】 不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在牵涉到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练 2】设 a，b 为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，m＋n＝1，求证：＋≥(a＋b)2.【证明】因为＋－(a＋b)2＝－＝＝＝≥0，所以不等式＋≥(a＋b)2 成立.题型三 用分析法证明不等式 【例 3】已知 a、b、c∈R＋，且 a＋b＋c＝1.求证：(1＋a)(1＋b)(1＋c)≥8(1－a)(1－b)(1－c).【证明】因为 a、b、c∈R＋，且 a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[(a＋b＋c)＋a][(a＋b＋c)＋b][(a＋b＋c)＋c]≥8[(a＋b＋c)－a][(a＋b＋c)－b][(a＋b＋c)－c]，也就是证[(a＋b)＋(c＋a)][(a＋b)＋(b＋c)][(c＋a)＋(b＋c)]≥8(b＋c)(c＋a)(a＋b).①因为(a＋b)＋(b＋c)≥2＞0，(b＋c)＋(c＋a)≥2＞0，(c＋a)＋(a＋b)≥2＞0，1三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】 本题采用的是分析法.从待证不等式出发，分析并寻求使这个不等式成立的充分条件的方法叫分析法，概括为“执果索因”.分...
