10.2 空间几何体的表面积与体积典例精析题型一 表面积问题【例 1】 圆锥的高和底面半径相等，它的一个内接圆柱的高和圆柱底面半径也相等，求圆柱的表面积和圆锥的表面积之比.【解析】设圆锥的半径为 R，母线长为 l，圆柱的半径为 r，轴截面如图，S 圆锥＝π(R＋l)R ＝π(R＋R)R＝(π＋π)R2，S 圆柱＝2πr(r＋r)＝4πr2，又＝，所以＝，所以＝.【点拨】 轴截面是解决内接、外切问题的一种常用方法.【变式训练 1】一几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m).(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积.【解析】(1)直观图如图所示.(2)该几何体的表面积为(7＋) m2，体积为 m3.题型二 体积问题【例 2】 某人有一容积为 V，高为 a 且装满了油的直三棱柱形容器，不小心将该容器掉在地上，有两处破损并发生渗漏，其位置分别在两条棱上且距下底面高度分别为 b、c 的地方，且容器盖也被摔开了(盖为上底面)，为减少油的损失，该人采用破口朝上，倾斜容器的方式拿回家，估计容器内的油最理想的剩余量是多少？【解析】 如图，破损处为 D、E，且 AD＝b，EC＝c，BB1＝a， 则容器内所剩油的最大值为几何体ABC－DB1E 的体积.因为1BCEBDV ＝11BCEBAV，而BBCCABCEBDVV111＝，由三棱柱几何性质知111BBCCAV＝V， ABCAV1＝，所以1BCEBDV ＝V，又因为ABCAABCDVV1＝，所以 VD－ABC＝·＝，所以EDBABCV1＝1BCEBDV＋VD－ABC＝V.故油最理想的剩余量为 V. 【点拨】将不规则的几何体分割为若干个规则的几何体，然后求出这些规则几何体的体积，这1是求几何体体积的一种常用的思想方法.【变式训练 2】一个母线长与底面圆直径相等的圆锥形容器，里面装满水，一铁球沉入水内，有水溢出，容器盖上一平板，恰与球相切，问容器内剩下的水是原来的几分之几？【解析】设球的半径为 R，则圆锥的高 h＝3R，底面半径 r＝R，V 圆锥＝·(R)2·3R＝3πR3；V 球＝πR3.所以＝＝，所以剩下的水量是原来的 1－＝.【点拨】本题关键是求圆锥与球的体积之比，作出轴截面，找出球半径和圆锥高、底面半径的关系即可.题型三 组合体的面积、体积的关系【例 3】底面直径为 2，高为 1 的圆柱截成横截面为长方形的棱柱，设这个长方形截面的一条边长为 x，对角线长为 2，截面的面积为 A，如图所示：(1)求面积 A 以 x 为自变量的函数式；(2)求截得棱柱的体积的最大值.【解析】 (1)A＝x·(0＜x＜2).(2)V＝x··1＝ ＝.因为 ...
