10.4 直线、平面平行的判定及其性质典例精析题型一 面面平行的判定【例 1】 如图，B 为△ACD 所在平面外一点，M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心.(1)求证：平面 MNG∥平面 ACD；(2)若△ACD 是边长为 2 的正三角形，判断△MNG 的形状并求△MGN 的面积.【解析】(1)证明：连接 BM、BN、BG 并延长分别交 AC、AD、CD 于 E、F、H 三点.因为 M 为△ABC 的重心，N 为△BAD 的重心，所以 ＝＝2.所以 MN∥EF，同理 MG∥HE.因为 MN⊄平面 ACD，MG⊄平面 ACD，所以 MN∥平面 ACD，MG∥平面 ACD，因为 MN∩MG＝M，所以平面 MNG∥平面 ACD.(2)由(1)知，平面 MNG∥平面 ACD，＝＝2，所以＝＝，因为 EH＝AD，EF＝CD，所以＝＝，所以＝＝＝，又△ACD 为正三角形. 所以△MNG 为等边三角形，且边长为×2＝，面积 S＝×＝.【点拨】由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行的判定定理得出面面平行.【变式训练 1】如图，ABCD 是空间四边形，E、F、G、H 分别是四边上的点，且它们共面，并且AC∥平面 EFGH，BD∥平面 EFGH，AC＝m，BD＝n，当 EFGH 是菱形时，AE∶EB＝____________.【解析】.设 AE＝a，EB＝b，由 EF∥AC，得 EF＝，同理 EH＝.EF＝EH，所以＝⇒＝.题型二 线面平行的判定【例 2】 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB 且 AM＝FN.求证：MN∥平面 BCE.【证明】方法一：如图一，作 MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q 为垂足，连接PQ，则 MP∥AB，NQ∥AB.所以 MP∥NQ，又 AM＝NF，AC＝BF，所以 MC＝NB.又∠MCP＝∠NBQ＝45°，所以 Rt△MCP≌Rt△NBQ，所以 MP＝NQ.故四边形 MPQN 为平行四边形. 所以 MN∥PQ.因为 PQ⊂平面 BCE，MN⊄平面 BCE，所以 MN∥平面 BCE.方法二：如图二，过 M 作 MH⊥AB 于 H，则 MH∥BC.所以＝.连接 NH，由 BF＝AC，FN＝AM 得＝，所以NH∥AF∥BE.因为 MN⊂平面 MNH，所以 MN∥平面 BCE.1【点拨】解决本题的关键在于找出平面内的一条直线和该平面外的一条直线平行，即线(内)∥线(外)⇒线(外)∥平面或转化为证明两个平面平行.方法二中要证明线面平行，通过转化为证两个平面平行，正确地找出 MN 所在平面是一个关键方法.方法一是利用线面平行的判定来证明，方法二则采用转化思想，通过证面面平行来证线面平行.【变式训练 2】如图所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，点 P 是平面 AB...
