4 直线、平面平行的判定及其性质典例精析题型一 面面平行的判定【例 1】 如图，B 为△ACD 所在平面外一点，M、N、G 分别为△ABC、△ABD、△BCD 的重心
(1)求证：平面 MNG∥平面 ACD；(2)若△ACD 是边长为 2 的正三角形，判断△MNG 的形状并求△MGN 的面积
【解析】(1)证明：连接 BM、BN、BG 并延长分别交 AC、AD、CD 于 E、F、H 三点
因为 M 为△ABC 的重心，N 为△BAD 的重心，所以 ＝＝2
所以 MN∥EF，同理 MG∥HE
因为 MN⊄平面 ACD，MG⊄平面 ACD，所以 MN∥平面 ACD，MG∥平面 ACD，因为 MN∩MG＝M，所以平面 MNG∥平面 ACD
(2)由(1)知，平面 MNG∥平面 ACD，＝＝2，所以＝＝，因为 EH＝AD，EF＝CD，所以＝＝，所以＝＝＝，又△ACD 为正三角形
所以△MNG 为等边三角形，且边长为×2＝，面积 S＝×＝
【点拨】由三角形重心的性质得到等比线段，由此推出线线平行，应用面面平行的判定定理得出面面平行
【变式训练 1】如图，ABCD 是空间四边形，E、F、G、H 分别是四边上的点，且它们共面，并且AC∥平面 EFGH，BD∥平面 EFGH，AC＝m，BD＝n，当 EFGH 是菱形时，AE∶EB＝____________
设 AE＝a，EB＝b，由 EF∥AC，得 EF＝，同理 EH＝
EF＝EH，所以＝⇒＝
题型二 线面平行的判定【例 2】 两个全等的正方形 ABCD 和 ABEF 所在平面相交于AB，M∈AC，N∈FB 且 AM＝FN
求证：MN∥平面 BCE
【证明】方法一：如图一，作 MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q 为垂足，连接PQ，则 MP∥AB，NQ∥AB
所以 MP∥NQ，又 AM＝NF，AC＝BF，所以 MC＝NB
