相似三角形的判定及有关性质(45分钟60分)1.如图所示,在▱ABCD中,点E为CD上一点,DE∶CE=2∶3,连接AE,BE,BD,且AE,BD交于点F,求S△DEF∶S△EBF∶S△ABF.【解析】因为AB∥CD,所以△EDF∽△ABF,所以==,所以==,又△DEF,△BEF分别以DF,BF为底时等高,所以===.故S△DEF∶S△EBF∶S△ABF=4∶10∶25.2.(2016·郑州模拟)如图正方形ABCD的边长为4,点E,F分别为DC,BC的中点.(1)求证:△ADE△ABF.(2)求△AEF的面积.【解析】(1)因为四边形ABCD为正方形,所以AD=AB,∠D=∠B=90°,DC=CB.因为点E,F为DC,BC的中点,所以DE=DC,BF=BC,所以DE=BF.因为在△ADE和△ABF中,所以△ADE≌△ABF(SAS).(2)由题知△ABF,△ADE,△CEF均为直角三角形,且AB=AD=4,DE=BF=×4=2,CE=CF=×4=2,所以S△AEF=S正方形ABCD-S△ADE-S△ABF-S△CEF=4×4-×4×2-×4×2-×2×2=6.【加固训练】如图,在四边形ABCD中,点E是AB上一点,EC∥AD,DE∥BC,若S△BEC=1,S△ADE=3,求S△CDE的值.【解析】因为EC∥AD,所以S△DCE∶S△ADE=EC∶AD,因为DE∥BC,所以S△BCE∶S△CDE=BC∶ED,又因为∠ECB=∠DEC=∠ADE,∠BEC=∠EAD,所以△BEC∽△EAD,所以EC∶AD=BC∶ED.所以S△DCE∶S△ADE=S△BCE∶S△CDE,于是S△CDE=.3.(2016·大同模拟)如图,在△ABC中,AB⊥AC,点D为BC的中点,DE⊥BC交AC于点F,交BA的延长线于点E.求证:AD2=DE·DF.【证明】因为AB⊥AC,点D为BC的中点,所以AD=BC=DC,所以∠2=∠C.因为AB⊥AC,DE⊥BC,所以∠C+∠B=90°,∠E+∠B=90°.所以∠C=∠E,所以∠2=∠E.又因为∠1=∠1,所以△DAE∽△DFA.所以=,即AD2=DE·DF.【加固训练】如图,在△ABC中,AB⊥AC,AD⊥BC,E为AC的中点,ED延长线交AB延长线于点F.求证:AB·AF=AC·DF.【证明】因为AB⊥AC,AD⊥BC,所以△ABD∽△CAD,所以=,∠1=∠C.因为E是AC的中点,所以DE=AC=EC,所以∠C=∠2.因为∠2=∠3,所以∠1=∠3.又因为∠F=∠F,所以△FBD∽△FDA,所以=,所以=,即AB·AF=AC·DF.4.(2016·唐山模拟)如图,在△ABC中,D是AC的中点,E是线段BC延长线上一点,过点A作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F,连接AE,CF.(1)求证:AF=CE.(2)若AC=EF,试判断四边形AFCE是什么样的四边形,并证明你的结论.【解析】(1)在△ADF和△CDE中,因为AF∥BE,所以∠FAD=∠ECD.又因为D是AC的中点,所以AD=CD.因为∠ADF=∠CDE,所以△ADF≌△CDE,所以AF=CE.(2)若AC=EF,则四边形AFCE是矩形.由(1)知AFCE,所以四边形AFCE是平行四边形.又因为AC=EF,所以四边形AFCE是矩形.【加固训练】如图,在△ABC中,点D是AC的中点,点E是BC延长线上一点,过A作AH∥BE.连接ED并延长交AB于点F,交AH于点H.如果AB=4AF,EH=8,求DF的长.【解析】因为AH∥BE,所以=.因为AB=4AF,所以=.因为HE=8,所以HF=2.因为AH∥BE,所以=.因为D是AC的中点,所以=1.因为HE=HD+DE=8,所以HD=4,所以DF=HD-HF=4-2=2.5.已知,如图,在矩形ABCD中,点G为BC延长线上一点,连接DG,过点B作BH⊥DG于点H,且GH=DH,点E,F分别在AB,BC上,且EF∥DG.(1)若AD=3,CG=2,求DG的长.(2)若GF=AD+BF,求证:EF=DG.【解析】(1)在△BHG与△DCG中,因为∠BGH=∠DGC,BH⊥DG,DC⊥BG,所以△BHG∽△DCG,所以=,因为AD=3,CG=2,所以BG=5,因为GH=DH,即=,所以DG=2,即DG的长为2.(2)因为GF=AD+BF,所以FC+GC=BF+FC+BF,即GC=2BF,因为EF∥DG,所以∠BFE=∠CGD,所以Rt△BEF∽Rt△CDG,所以EF∶DG=BF∶GC=1∶2,所以EF=DG.【加固训练】如图,在正方形ABCD中,点E为AB的中点,BF⊥CE于点F,求S△BFC∶S正方形ABCD的值.【解析】设正方形ABCD的边长为2a,因为E是AB的中点,所以BE=a,所以CE==a,因为BF⊥CE,所以∠EBC=∠BFC=90°,因为∠ECB=∠BCF,所以△BCF∽△ECB.因为BC∶EC=2∶.所以S△BFC∶S△EBC=4∶5.因为S正方形ABCD=4S△EBC,所以S△BFC∶S正方形ABCD=1∶5.6.如图,点C,D在线段AB上,且△PCD是等边三角形.(1)当AC,CD,DB满足怎样的关系时,△ACP∽△PDB.(2)当△PDB∽△ACP时,试求∠APB的度数.【解析】(1)当CD2=AC·DB时,△ACP∽△PDB,因为△PCD是等边三角形,所以∠PCD=∠PDC=60°,所以∠ACP=∠PDB=120°,若CD2=AC·DB,由PC=PD=CD可得PC·PD=AC·DB,即=,则根据相似三角形的判定定理得△ACP∽△PDB.(2)当△ACP∽△PDB时,∠APC=∠PBD.因为∠PDB=120°,所以∠DPB+∠DBP=60°,所以∠A...
