第1讲坐标系板块三模拟演练·提能增分[基础能力达标]1．[2018·广东珠海模拟]在极坐标系中，圆C的极坐标方程为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6.若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．(1)求圆C的参数方程；(2)在直角坐标系中，点P(x，y)是圆C上一动点，试求x＋y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．解(1)因为ρ2＝4ρ(cosθ＋sinθ)－6，所以x2＋y2＝4x＋4y－6，所以x2＋y2－4x－4y＋6＝0，整理得(x－2)2＋(y－2)2＝2.所以圆C的参数方程为(θ为参数)．(2)由(1)可得x＋y＝4＋(sinθ＋cosθ)＝4＋2sin.当θ＝，即点P的直角坐标为(3,3)时，x＋y取得最大值，其值为6.2．[2018·宁波模拟]已知曲线C1的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)．解(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，即C1：x2＋y2－8x－10y＋16＝0.将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.所以C1的极坐标方程为ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0.(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0.由解得或所以C1与C2交点的极坐标分别为，.3．[2018·南通模拟]在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C的普通方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝5，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．解(1)因为圆C的参数方程为(φ为参数)，所以圆心C的坐标为(0,2)，半径为2，圆C的普通方程为x2＋(y－2)2＝4.(2)将x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入x2＋(y－2)2＝4，得圆C的极坐标方程为ρ＝4sinθ.设P(ρ1，θ1)，则由解得ρ1＝2，θ1＝.设Q(ρ2，θ2)，则由解得ρ2＝5，θ2＝.所以|PQ|＝3.4．[2018·昆明模拟]将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的3倍，得曲线Γ.(1)写出Γ的参数方程；(2)设直线l：3x＋2y－6＝0与Γ的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．解(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为Γ上的点(x，y)，依题意，得即由x＋y＝1，得2＋2＝1，即曲线Γ的方程为＋＝1.故Γ的参数方程为(t为参数)．(2)由解得或不妨设P1(2,0)，P2(0,3)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线的斜率k＝.于是所求直线方程为y－＝(x－1)，即4x－6y＋5＝0，化为极坐标方程，得4ρcosθ－6ρsinθ＋5＝0.5．[2016·全国卷Ⅲ]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．解(1)由曲线C1：得即曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1.由曲线C2：ρsin＝2，得ρ(sinθ＋cosθ)＝2，即曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cosα，sinα)．因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，d(α)＝＝.当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.6．[2018·合肥模拟]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中φ为参数)，曲线C2：x2＋y2－2y＝0，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝α(ρ≥0)与曲线C1，C2分别交于点A，B(均异于原点O).(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)当0<α<时，求|OA|2＋|OB|2的取值范围．解(1)∵(φ为参数)，∴＋y2＝1.由得曲线C1的极坐标方程为ρ2＝.∵x2＋y2－2y＝0，∴曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ.(2)由(1)得|OA|2＝ρ2＝，|OB|2＝ρ2＝4sin2α，∴|OA|2＋|OB|2＝＋4sin2α＝＋4(1＋sin2α)－4，∵0<α<，∴1<1＋sin2α<2，∴6<＋4(1＋sin2α)<9，∴|OA|2＋|OB|2的取值范围为(2,5)．
