2015 高中数学 1.3 算法案例讲解 新人教 A 版必修 3在初中，我们已经学过求最大公约数的知识，你能求出 18 与 30 的公约数吗？我们都是利用找公约数的方法来求最大公约数，如果公约数比较大而且根据我们的观察又不能得到一些公约数，我们又应该怎样求它们的最大公约数？比如求 8251 与 6105 的最大公约数？这就是我们这一堂课所要探讨的内容。1.辗转相除法例 1 求两个正数 8251 和 6105 的最大公约数。（分析：8251 与 6105 两数都比较大，而且没有明显的公约数，如能把它们都变小一点，根据已有的知识即可求出最大公约数）解：8251＝6105×1＋2146显然 8251 的最大公约数也必是 2146 的约数，同样 6105 与 2146 的公约数也必是 8251 的约数，所以8251 与 6105 的最大公约数也是 6105与 2146 的最大公约数。6105＝2146×2＋18132146＝1813×1＋3331813＝333×5＋148333＝148×2＋37148＝37×4＋0则 37 为 8251 与 6105 的最大公约数。以上我们求最大公约数的方法就是辗转相除法。也叫欧几里德算法，它是由欧几里德在公元前 300 年左右首先提出的。利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：第一步：用较大的数 m 除以较小的数 n 得到一个商 q0和一个余数 r0；第二步：若 r0＝0，则 n 为 m，n 的最大公约数；若 r0≠0，则用除数 n 除以余数 r0得到一个商 q1和一个余数 r1；第三步：若 r1＝0，则 r1为 m，n 的最大公约数；若 r1≠0，则用除数 r0除以余数 r1得到一个商 q2和一个余数 r2；……依次计算直至 rn＝0，此时所得到的 rn-1即为所求的最大公约数。练习：利用辗转相除法求两数 4081 与 20723 的最大公约数（答案：53）2.更相减损术我国早期也有解决求最大公约数问题的算法，就是更相减损术。更相减损术求最大公约数的步骤如下：可半者半之，不可半者，副置分母·子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。1翻译出来为：第一步：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。若是，用 2 约简；若不是，执行第二步。第二步：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的最大公约数。例2 用更相减损术求 98 与 63 的最大公约数.解：由于 63 不是偶数，把 98 和 63 以大数减小数，并辗转相减，即：98－63＝3563－35＝2835－28＝728－7＝2121－7＝...
