两直线的位置关系（5）一．课题：两直线的位置关系（5）——点到直线的距离二．教学目标：1.掌握点到直线的距离公式及其推导方法，并能熟练运用这一公式；2.进一步体现数形结合、转化的数学思想，培养学生研究探索的能力。三．教学重、难点：点到直线的距离公式、推导方法及其应用。四．教学过程：（一）复习：1．平面上两点间的距离公式是什么？ 2．什么是点到直线的距离？ 3．什么是两平行线之间的距离？（二）新课讲解：1．点到直线的距离公式及其推导问 题 ： 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 ， 如 果 已 知 某 点 P 的 坐 标 为， 直 线 的 方 程 是，怎样由点的坐标和直线的方程直接求点到直线的距离呢？思路一：根据定义，求点到直线 的垂线段的长，此思路自然，但运算较繁。思路二：设，这时 与 轴、轴都相交。如图：过作 轴的平行线，交 于点；作轴的平行线，交 于点，由，，得，，∴=，=，由三角形面积公式知：， ∴=，当时，以上公式仍适用。点到直线的距离公式：点到直线 ：的距离公式： =．xyOR00( ,)P x ySQ思路三（参考）：利用向量知识求点到直线的距离公式：如图，在 上任取一点，可得到直角三角形.作向量，向量是直线 的一个法向量，设向量与 的夹角为. 点在直线 上，∴，即，又，∴而，故.（三）例题分析：例 1．求点到下列直线的距离： （1）； （2）．解：（1）由点到直线的距离公式，得， （2）因为直线 平行于轴，所以 =．例 2．求平行线和 的距离。解：在直线上任取一点，例如取，则点到直线的距离就是两平行线之间的距离，∴．思考：是否可以在直线上取一般的点来求距离？结论：两条平行线：， ：之间的距离为，则．例 3．求过点，且与原点的距离等于的直线方程。解：当斜率不存在时，方程为，不适合， 当斜率存在时，设方程为：，即，①xyPOnRQ 由题意：， 解得或，所以，所求的直线方程为：或．例 4．过两点作两条平行线，求满足下列条件的两条直线方程：（1）两平行线间的距离为； （2）这两条直线各自绕、 旋转，使它们之间的距离取最大值。解：（1）当两直线的斜率不存在时，方程分别为，满足题意， 当两直线的斜率存在时，设方程分别为与，即： 与，由题意：，解得，所以，所求的直线方程分别为：， 综上：所求的直线方程分别为：，或．（2）由（1）当两直线的斜率存在时，，∴，∴， ∴，即，∴，∴，∴，当，．当两直线的斜率不存在时，...
