4 章 4 节随堂即时巩固1．(2009 年高考天津卷)若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为 2，则 a＝________.解析：两圆方程作差易知弦所在直线方程为：y＝，如图，由已知|AC|＝，|OA|＝2，有|OC|＝＝1，∴a＝1.答案：12．(2009 年高考全国卷Ⅱ)已知圆 O：x2＋y2＝5 和点 A(1,2)，则过 A 且与圆 O 相切的直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析：依题意，过 A(1,2)作圆 x2＋y2＝5 的切线方程为 x＋2y＝5，在 x 轴上的截距为 5，在 y 轴上的截距为，切线与坐标轴围成的三角形面积 S＝××5＝.答案：3．(2009 年高考湖北卷)过原点 O 作圆 x2＋y2－6x－8y＋20＝0的两条切线，设切点分别为 P、Q，则线段 PQ 的长为________．解析：∵圆的标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝5，可知圆心为(3,4)，半径为.如图可知，|CO|＝5，∴OP＝＝2.∴tan∠POC＝＝.在 Rt△POC 中，OC·PM＝OP·PC，∴PM＝＝2.∴PQ＝2PM＝4.答案：44．若直线 3x＋4y＋m＝0 与圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 没有公共点，则实数 m 的取值范围是________．解析：将圆 x2＋y2－2x＋4y＋4＝0 化为标准方程，得(x－1)2＋(y＋2)2＝1，圆心为(1，－2)，半径为 1.若直线与圆无公共点，即圆心到直线的距离大于半径，即 d＝＝>1，∴m<0 或 m>10.答案：(－∞，0)∪(10，＋∞)5．(原创题)已知直线 x－y＋2m＝0 与圆 x2＋y2＝n2 相切，其中m，n∈N*，且 n－m<5，则满足条件的有序实数对(m，n)共有________个．解析：由题意可得，圆心到直线的距离等于圆的半径，即 2m－1＝n，所以 2m－1－m<5，因为 m，n∈N*，所以，，，，故有序实数对(m，n)共有 4 个．答案：4 个6．(2010 年南京调研)已知：以点 C(t，)(t∈R，t≠0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O、A，与 y 轴交于点 O、B，其中 O 为原点．(1)求证：△OAB 的面积为定值；(2)设直线 y＝－2x＋4 与圆 C 交于点 M，N，若 OM＝ON，求圆 C的方程．解：(1)证明：∵圆 C 过原点 O，∴OC2＝t2＋.设圆 C 的方程是(x－t)2＋(y－)2＝t2＋，令 x＝0，得 y1＝0，y2＝；令 y＝0，得 x1＝0，x2＝2t.∴S△OAB＝OA·OB＝×||×|2t|＝4，即△OAB 的面积为定值．(2)∵OM＝ON，CM＝CN，∴OC 垂直平分线段 MN.∵kMN＝－2，∴kO C＝，∴直线 OC 的方程是 y＝x.∴＝t，解得：t＝2 或 t＝－2.当 t＝2 时，圆心 C 的坐标为(2,1)，OC＝，此时圆心 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝<，圆 C 与直线 y＝－2x＋4 相交于两点．当 t＝－2 时，圆心 C 的坐标为(－2，－1)，OC＝，此时圆心 C 到直线 y＝－2x＋4 的距离 d＝>，圆 C 与直线 y＝－2x＋4 不相交，∴t＝－2 不符合题意舍去．∴圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
