同角三角函数的基本关系及诱导公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2016·郑州模拟)sin+cos-tan=()A.0B.C.1D.-【解析】选A.原式=sin+cos(-10π+)-tan=sin+cos-tan=+-1=0.2.已知tan140°=k,则sin140°=()A.B.C.-D.-【解析】选C.因为k=tan140°=tan(180°-40°)=-tan40°,所以tan40°=-k,所以k<0,sin40°=-kcos40°,sin140°=sin(180°-40°)=sin40°,因为sin240°+cos240°=1,所以k2cos240°+cos240°=1,所以cos40°=,所以sin40°=.【方法技巧】1.诱导公式用法的一般思路(1)化大角为小角.(2)角中含有加减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.2.常见的互余和互补的角(1)常见的互余的角:-α与+α;+α与-α;+α与-α等.(2)常见的互补的角:+θ与-θ;+θ与-θ等.3.三角函数式化简的方向(1)切化弦,统一名.(2)用诱导公式,统一角.(3)用因式分解将式子变形,化为最简.3.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β),其中a,b,α,β都是非零实数,若f(2015)=-1,那么f(2016)等于()A.-1B.0C.1D.2【解析】选C.因为f(2015)=asin(2015π+α)+bcos(2015π+β)=-asinα-bcosβ=-1,所以f(2016)=asin(2016π+α)+bcos(2016π+β)=asinα+bcosβ=1.4.若tanα=2,则的值是()A.-B.-C.D.【解析】选A.由tanα=2,则==-.5.若角α的终边落在直线x+y=0上,则+=()A.-2B.2C.-2或2D.0【解析】选D.由题意得α在第二或第四象限,所以+=+=0.6.已知α为第一象限角,且=3+2,则cosα=()A.B.C.D.【解析】选B.由题意得tanα==,又因为sin2α+cos2α=1,所以cos2α=,又因为α为第一象限角,所以cosα=.7.设θ是三角形的内角,若函数f=x2cosθ-4xsinθ+6对一切实数x都有f>0,则θ的取值范围是()A.B.C.D.【解析】选D.由题意得解得cosθ>,所以θ的取值范围是.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),则=.【解析】由已知得,-sinα=2cosα,即tanα=-2,所以===-.答案:-9.sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°=.【解析】因为sin=cosα,所以当α+β=90°时,sin2α+sin2β=sin2α+cos2α=1,设S=sin21°+sin22°+sin23°+…+sin289°,则S=sin289°+sin288°+sin287°+…+sin21°两个式子相加得2S=1+1+1+…+1=89,S=44.5.答案:44.510.已知函数f(x)=sinx-cosx且f′(x)=2f(x),f′(x)是f(x)的导函数,则=.【解析】因为f′(x)=cosx+sinx,f′(x)=2f(x),所以cosx+sinx=2(sinx-cosx),所以tanx=3,所以====-.答案:-【加固训练】(2014·安徽高考)设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sinx,当0≤x<π时,f(x)=0,则f=()A.B.C.0D.-【解题提示】由函数f(x)满足的关系式,逐步降角,直到把π转化到区间[0,π)上,再利用当0≤x<π时,f(x)=0求值.【解析】选A.由f(x+π)=f(x)+sinx,得f(x+2π)=f(x+π)+sin(x+π)=f(x)+sinx-sinx=f(x),所以f=f=f=f=f+sinπ.因为当0≤x<π时,f(x)=0.所以f=0+=.(20分钟40分)1.(5分)已知cosα是3x2-x-2=0的根,且α为第三象限角,则=()A.B.-C.-D.【解析】选D.因为α为第三象限角,所以cosα<0,cosα=-,原式==tan2α===.2.(5分)(2016·北京模拟)已知cos=,且-π<α<-,则cos=.【解析】因为-π<α<-,所以-<+α<-,因为cos=,所以sin=-,所以cos=cos=sin=-.答案:-3.(5分)(2016·武汉模拟)已知sinα+cosα=,则sinα-cosα=.【解析】由sinα+cosα=,平方得1+2sinαcosα=2①,设sinα-cosα=t,平方得1-2sinαcosα=t2②由①②相加得2=2+t2,所以t2=0,t=0.答案:0【加固训练】(2015·洛阳模拟)若tan=,则sinθcosθ=.【解析】tan==,得tanθ=,所以sinθcosθ====.答案:4.(12分)在△ABC中,若sin=-sin(π-B),cos=-cos,求这个三角形的内角.【解析】由题意得sinA=sinB,①cosA=cosB,②由①②两边平方,然后相加得sin2A+3cos2A=2,所以sin2A=,由②知cosA,cosB同号,又因为在△ABC中,所以cosA>0,cosB>0,所以A,B都是锐角,所以sinA=,A=,代入②得cosB=,B=,所以C=π-B-A=.所以三个内角分别为A=,B=,C=.5.(13分)已知θ是三角形中的最小角,并且满足关于θ的方程cos2θ+2msinθ-2m-2=0有实数解,求实数m的取值范围.【解析】因为θ是三角形中的最小角,所以0<θ≤,0
