三角函数的图象与性质(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2016·广州模拟)既是偶函数又在区间(0,π)上单调递减的函数是()A.y=sin2xB.y=sinxC.y=cos2xD.y=cosx【解析】选D.函数y=sin2x与y=sinx都是奇函数,故A,B不符合题意,函数y=cos2x,y=cosx都是偶函数,y=cos2x在(0,π)上不单调,y=cosx符合题意.【加固训练】在(0,2π)内,使sinx>cosx成立的x的取值范围为()A.∪B.C.D.∪【解析】选B.画出y=sinx,y=cosx在(0,2π)内的图象,它们的交点横坐标为,,由图象可知x的取值范围为.2.下列函数中,周期为1的奇函数是()A.y=1-2sin2πxB.y=sinC.y=tanxD.y=sinπxcosπx【解析】选D.化简函数表达式y=1-2sin2πx=cos是偶函数,周期为1,y=sin的周期为1,是非奇非偶函数,y=tanx是奇函数,周期为2,y=sinπxcosπx=sin2πx是奇函数,周期为1.3.(2016·黄冈模拟)函数f(x)=sin在区间上的最小值是()A.-1B.-C.D.0【解题提示】先确定2x-的范围,再根据正弦曲线的单调性求最小值.【解析】选B.因为x∈,所以2x-∈,根据正弦曲线可知,当2x-=-时,f(x)取得最小值-.【加固训练】1.(2016·大同模拟)已知函数f(x)=sin(x-φ),且f(x)dx=0,则函数f(x)的图象的一条对称轴是()A.x=B.x=C.x=D.x=【解题提示】利用函数图象的平移和对称性求解.【解析】选A.由于f=sin(x-φ),且f(x)dx=0,得到f(x)的对称中心为,所以φ=,x-=+kπ,k∈Z,所以x=+kπ,k∈Z,所以f(x)的图象的一条对称轴是x=.【一题多解】本题还可以采用如下解法:由题意可知f(x)的对称中心为,所以f(x)=sin,把x=代入得f=sin=1,恰好取得最大值,所以A正确.2.已知函数f(x)=sin-1,则下列命题正确的是()A.f(x)是周期为1的奇函数B.f(x)是周期为2的偶函数C.f(x)是周期为1的非奇非偶函数D.f(x)是周期为2的非奇非偶函数【解析】选B.由已知化简得f(x)=-cos(πx)-1,所以f(x)是周期为2的偶函数.4.(2016·广州模拟)如果函数y=3sin(2x+φ)的图象关于直线x=对称,那么|φ|的最小值为()A.B.C.D.【解析】选A.依题意得,sin=±1,则+φ=kπ+(k∈Z),即φ=kπ+(k∈Z),因此|φ|的最小值是.5.(2016·榆林模拟)函数f(x)=(1-cosx)sinx在[-π,π]的图象大致为()【解题提示】首先根据函数的奇偶性进行排除,然后再根据函数的图象特征取最佳值排除剩余选项.【解析】选C.因为f(-x)=-(1-cosx)sinx,即f(-x)=-f(x),而定义域x∈[-π,π]关于原点对称,所以函数f(x)为奇函数,排除B.又当x=时,f=sin=1>0,排除A.当x=时,f=sin=>1,排除D.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2016·杭州模拟)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.【解题提示】本题考查了三角恒等变换知识,可先降幂,再化为一个角的三角函数.【解析】y=sin2x+cos2x=sin2x+cos2x+=sin+,所以T==π.答案:π7.(2016·深圳模拟)设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0,2π]上恰有三个解x1,x2,x3,则x1+x2+x3=.【解题提示】将左边函数化为一种三角函数式的形式,结合三角函数图象即得.【解析】设f(x)=sinx+cosx=2sin,因为x∈[0,2π],所以x+∈,根据方程恰有三个解,结合三角函数图象易得x1=0,x2=,x3=2π,所以x1+x2+x3=.答案:8.(2015·天津高考)已知函数f(x)=sinωx+cosωx(ω>0),x∈R,若函数f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数f(x)的图象关于直线x=ω对称,则ω的值为.【解析】由f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且f(x)的图象关于直线x=ω对称,可得2ω≤,且f(ω)=sinω2+cosω2=,所以sin=1,所以ω2+=⇒ω=.答案:(20分钟40分)1.(5分)已知函数y=2cosx的定义域为,值域为[a,b],则b-a的值是()A.2B.3C.+2D.2-【解析】选B.因为当≤x≤π时,y=2cosx是单调减函数,且当x=时,y=2cos=1,当x=π时,y=2cosπ=-2,所以-2≤y≤1,即y的值域是[-2,1],所以b-a=1-(-2)=3.2.(5分)已知函数f(x)=2sin,x∈R.在曲线y=f(x)与直线y=1的交点中,若相邻交点距离的最小值为,则f(x)的最小正周期为()A.B.C.πD.2π【解析】选C.由f(x)=1,得sin=,所以ωx1+=,或ωx2+=,所以ω(x2-x1)=.又因为x2-x1=,故ω=2,所以T==π.【加固训练】已知f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)在同一周期内当x=时取最大值,当x=时取最小值,与y轴的交点为(0,),则f(x)的解析式为.【解析】由题设知T=2=π,又T=,所以ω=2,由2×+φ=得φ=;由=Asin,得...
