两角和、差及倍角公式(25分钟50分)一、选择题(每小题5分,共35分)1.sin163°sin223°+sin253°sin313°=()A.-B.C.-D.【解析】选B.sin163°sin223°+sin253°sin313°=-sin17°cos47°+cos17°sin47°=sin=.【加固训练】(2016·广州模拟)=()A.B.C.2D.【解析】选C.==2.2.已知α∈,sinα=,则tan等于()A.B.7C.-D.-7【解析】选A.因为α∈,sinα=,所以cosα=-,所以tanα=-,所以tan===.3.(2016·咸阳模拟)函数f=sinx-cos的值域为()A.[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.【解析】选B.因为f=sinx-cos=sinx-=sinx-cosx=sin,所以值域为[-,].【一题多解】本题还可以采用如下解法:选B.方法一:因为f=sinx-cos=sinx-sin=2cossin=sin∈.方法二:因为f=sinx-cos=sin-cos=sincos-cossin-cos=sin-cos=sin,所以值域为[-,].4.设tan(α+β)=,tan=,则tan的值是()A.B.C.D.【解析】选B.tan=tan===.5.(2016·武汉模拟)已知α为第三象限的角,cos2α=-,则tan=()A.-B.C.7D.-7【解析】选A.因为α为第三象限的角,所以2α∈(2(2k+1)π,π+2(2k+1)π)(k∈Z),又因为cos2α=-<0,所以2α∈(k∈Z),于是有sin2α=,tan2α==-,所以tan===-.6.已知tan=,则tanα等于()A.-B.-1C.-D.【解析】选C.tanα=tan===-.7.若=,则tan2α等于()A.B.-C.D.-【解析】选D.因为===,所以tanα=2,所以tan2α===-.【加固训练】已知=1,tan(β-α)=-,则tan(β-2α)=.【解析】因为=1,所以2tanα=1,即tanα=.所以tan(β-2α)=tan(β-α-α)===-1.答案:-1二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知cosα=,cos(α+β)=-,且α∈,α+β∈,则cosβ的值为.【解析】因为α∈,α+β∈,cosα=,cos(α+β)=-,所以sinα===,sin(α+β)===.所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=×+×=.答案:9.设sin2α=-sinα,α∈,则tan2α的值是.【解析】根据题意sin2α=-sinα,可得2sinαcosα=-sinα,可得cosα=-,tanα=-,所以tan2α===.答案:10.函数f=sin-2sinφcos的最大值为.【解析】因为f(x)=sin(x+2φ)-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ+cos(x+φ)·sinφ-2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)·cosφ-cos(x+φ)·sinφ=sinx≤1.所以最大值为1.答案:1(20分钟40分)1.(5分)(2016·南昌模拟)已知函数f(x)=cosxsin2x,下列结论中错误的是()A.y=f(x)的图象关于(π,0)中心对称B.y=f(x)的图象关于x=对称C.f(x)的最大值为D.f(x)既是奇函数,又是周期函数【解析】选C.f(x)=cosxsin2x=2cos2xsinx=2sinx-2sin3x,令t=sinx,-1≤t≤1,则g(t)=2t-2t3,g′(t)=2-6t2,令g′(t)=2-6t2=0,解得t=-或t=.比较两个极值点和两个端点,g(-1)=0,g(1)=0,g<0,g=,f(x)的最大值为,故C错误.2.(5分)(2016·惠州模拟)计算4cos50°-tan40°=()A.B.C.D.2-1【解题提示】先切化弦,然后通分化简求解即可.【解析】选C.4cos50°-tan40°=4cos50°-======.【加固训练】tan20°+4sin20°=.【解析】tan20°+4sin20°=====.答案:3.(5分)(2016·九江模拟)已知函数f(x)=cos,x∈R,若cosθ=,θ∈,则f的值为.【解析】f=cos=cos=cos2θ-sin2θ,若cosθ=,θ∈,则sinθ=-,cos2θ=2cos2θ-1=-,sin2θ=2sinθcosθ=-,所以f=cos2θ-sin2θ=.答案:【加固训练】(2016·抚州模拟)已知α,β∈,sin(α+β)=-,sin=,则cos=.【解析】由已知α,β∈,得α+β∈,β-∈,所以cos>0,cos<0,所以cos=,cos=-,所以cos=cos=coscos+sinsin=×+×=-.答案:-4.(12分)(2016·重庆模拟)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π),x∈R的最大值是1,其图象经过点M.(1)求f(x)的解析式.(2)已知α,β∈,且f(α)=,f(β)=,求f(α-β)的值.【解析】(1)依题意有A=1,则f(x)=sin(x+φ),将点M代入得sin=,而0<φ<π,所以+φ=π,所以φ=,故f(x)=sin=cosx.(2)依题意有cosα=,cosβ=,而α,β∈,所以sinα==,sinβ==,f(α-β)=cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=×+×=.5.(13分)已知函数f(x)=Asin,x∈R,且f=.(1)求A的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈,求f.【解题提示】(1)属于给角求值问题,把代入解析式求解A.(2)可利用两角和与差的正弦和诱导公式及同角三角函数的关系求解.【解析】(1)由f=Asin=Asin=A=可得A=3.(2)f(θ)-f(-θ)=,则3sin-3sin=,3-3=,sinθ=.因为θ∈,所以cosθ=,f=3sin=3sin=3cosθ=.【加固训练】(2016·洛阳模拟)已知<α<π,tanα+cotα=-.(1)求tanα的值.(2)求的值.【解析】(1)由tanα+cotα=-得3tan2α+10tanα+3=0,即tanα=-3或tanα=-,又因为<α<π,所以tanα=-.(2)=====-.
