2024年第二章统计基本概念

19 第二章 数理统计的基本概念 1 总体、样本及统计量 （1）总体 X 是指讨论对象的全体，是一个 R.V.（随机变量）含有未知参数 （2）从总体 X 中随机抽取一个子样 X1，X2……Xn（样本容量为 n），满足与 X 具有相同分布，且 X1，X2……Xn 相互独立，称 X1，X2……Xn 是 X 的一个简单随机样本． 常用的统计量（不含任何未知参数的样本函数） １°样本均值 （算术平均值） 若 ， 由辛钦大数定理可近似代替总体均值， 又由样本相互独立且与总体同分布 。 ２° 样本方差 ３°也称为样本方差 ,是的有偏估量，但是一个渐近无偏估量． 而,是的无偏估量. 四个重要分布 正态分布 为密度函数，图形关于为对称， 若，则，称为标准正态分布 为它的密度函数 且有 密度函数为偶函数 （概率积分） 其分布函数 可查表求其值如 又若一般正态分布 则，为标准差 以上过程称为标准化 当，对，可查表求 Zα， 使 及 如，则（查.975 表） 又如 ，则（查.95 表） 以及 例某地区电压 X 是一个 R.V.，X~N(22,252)，可分为三种状态，小于 2V，介于 2~24V 之间，高于 24V，电子设备在三种状态下故障的概率分别为.1、.1、.2，求 设备出故障的概率 解假设Ａ表设备出故障，Bi(i=1，2，3)分别表示三种状态 由全概率公式 若设备已出故障，分别求在三种状态下出现的概率． 解由贝叶斯公式 同理 χ2-分布 设 X~N(,1)，X1、X2……Xn 是样本，则 1° 即 n 个相互独立的标准正态分布 R.V.的平方和服从自由度为 n 的卡方分布． 2° 其中 为伽玛函数，若 n 为正整数 利用分部积分法可推出 又由 令，两边微分有 即 递推关系式 Г(s+1)=sГ(s)， 3°若，，且、相互独立 证明 由、相互独立 4°若 证明由 5°可查表求其值 对<α<<1，χ2~χ2(n) 有 取 α=.5，n=8，查表 及 t-分布 1°结构若，且 X,Y 相互独立 则，即 T 服从自由度为 n 的 t-分布 2°若 T～t(n)，则 T 的密度函数为 为一偶函数 可以证明 即 t-分布的近似分布为标准正态分布 3°可查表求其值如图 对<α<<1，T~t(n) 若取 α=.5，n=8 查表 F-分布 若，且 X，Y 相互独立，则 1° n1，n2 分别是第一、第二自由度 2° 3°可查表求其值，如图 对<α<<1 如 α=.5，n1=8，n2=17 查表 及 七个常用的抽样分布定理 设，X1、X2Xn 是样本，样本均值和样本方差分别为 由， 由正态随机变量...