第三讲数__列等差数列、等比数列的基本运算[例 1] (1)(2012·佛山教学质量检测)设{an}是公差不为 0 的等差数列，a1＝2 且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前 5 项和 S5等于( )A．10 B．15C．20 D．30解析：选 B 设等差数列{an}的公差为 d(d≠0)，则由 a1，a3，a6成等比数列知 a＝a1·a6，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋5d)．又 a1＝2，所以 d＝，所以 S5＝5a1＋×＝15.(2)(2012·太原市模拟)已知等差数列{an}，首项 a1>0，a2 011＋a2 012>0，a2 011· a2 012<0，则使数列{an}的前 n 项和 Sn>0 成立的最大正整数 n 是( )A．2 011 B．2 012C．4 023 D．4 022解析：选 D 因为{an}是等差数列，且 a1>0，a2 011＋a2 012>0，a2 011·a2 012<0，所以 a2 011>0，a2 012<0.所以 S4 022＝＝2 011(a2 011＋a2 012)>0，S4 023＝＝4 023a2 012<0，故使 Sn>0 成立的最大正整数 n＝4 022.[方法总结] 等差、等比数列的基本运算，多考查“知三求二”问题，常以选择、填空题形式考查，解题时一是要抓住首项 a1和公差 d(公比 q)，二是注意方程思想与整体思想的应用.数 列 求 和[例 2] (2012·安徽第一次联考)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)证明：数列{an－n}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；(2)记 bn＝，数列{bn}的前 n 项和为 Sn，求证：Sn＋bn>.解：(1)证明：由题设 an＋1＝4an－3n＋1，得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*，又 a1－1＝1.∴数列{an－n}是首项为 1,4 为公比的等比数列．∴an－n＝1×4n－1，an＝4n－1＋n.(2)由(1)可知 bn＝＝.∴Sn＝1＋2×＋3×＋…＋(n－1)×＋n×.则 Sn＝1×＋2×＋…＋(n－1)×＋n×，相减得Sn＝－n×＝－n×，∴Sn＝－，∴Sn＋bn＝－×－＋＝＋·. n≥1，∴2n－>0，∴Sn＋bn>.[方法总结] 数列求和主要在解答题中考查，多考查分组转化求和、错位相减求和及裂项求和，解决此类问题时要注意根据通项的结构特征灵活地选择求和方法，注意分类讨论思想的应用.数列的综合应用[例 3] 已知数列{2n－1·an}的前 n 项和 Sn＝9－6n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝n·，设数列的前 n 项和为 Tn，求使 Tn<恒成立的 m 的最小整数值．解：(1)n＝1 时，20·a1＝S1＝3，即 a1＝3；当 n≥2 时，2n－1·an＝Sn－Sn－1＝－6，即 an＝.则 an＝(2)当 n＝1 时，b1＝3－log21＝3，即 T1＝＝；当 n≥2 时，bn＝n·＝n·(n＋...
