第三节 函数的奇偶性与周期性【考纲下载】1．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．2．会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性．3．了解函数周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性．1．奇函数、偶函数及其图象特征奇函数偶函数定义义一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x， 都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于 y 轴 对称2．周期性(1)周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小 正数就叫做f(x)的最小正周期．1．若函数 f(x)在区间[a，b](a≠b)上有奇偶性，则实数 a，b 之间有什么关系？提示：a＋b＝0.奇函数、偶函数的定义域关于原点对称．2．若 f(x)是奇函数且在 x＝0 处有定义，那么 f(0)为何值？如果是偶函数呢？提示：如果 f(x)是奇函数时，f(0)＝－f(0)，则 f(0)＝0；如果 f(x)是偶函数时，f(0)不一定为 0，如 f(x)＝x2＋1.3．是否存在既是奇函数又是偶函数的函数？若有，有多少个？提示：存在，如 f(x)＝0，定义域是关于原点对称的任意一个数集，这样的函数有无穷多个．4．若 T 为 y＝f(x)的一个周期，那么 nT(n∈Z)是函数 f(x)的周期吗？提示：不一定．由周期函数的定义知，函数的周期是非零常数，当 n∈Z 且 n≠0 时，nT 是f(x)的周期．1．(2013·广东高考)定义域为 R 的四个函数 y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x 中，奇函数的个数是( )1A．4 B．3 C．2 D．1解析：选 C 函数 y＝x3，y＝2sin x 为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y＝x2＋1 为偶函数，故奇函数的个数是 2.2．(2013·山东高考)已知函数 f(x)为奇函数，且当 x>0 时， f(x) ＝x2＋，则 f(－1)＝( )A．－2 B．0 C．1 D．2解析：选 A 因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(－1)＝－f(1)＝－2.3．(2013·湖北高考)x 为实数，[x]表示不超过 x 的最大整数，则函数 f(x)＝x－[x]在 R上为( )A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．周期函数解析：选 D 函数 f(x)＝x－[x]在 R 上的图象如下图：故 f(x)在 R 上为...
