第四节 二次函数与幂函数【考纲下载】1．了解幂函数的概念；结合函数 y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝x 的图象，了解它们的变化情况．2．理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．1．幂函数的定义形如 y ＝ x α (α∈R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量，α 为常数．2．五种幂函数的图象3．五种幂函数的性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0 ，＋∞ ) ( － ∞， 0) ∪ (0 ， ＋∞ ) 值域R[0 ，＋∞ ) R[0 ，＋∞ ) ( － ∞， 0) ∪ (0 ， ＋∞ ) 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0 ，＋∞ ) 时，增增增x∈(0 ，＋∞ ) 时，减x∈( －∞， 0] 时，减x∈( －∞， 0) 时，减4.二次函数的图象和性质a>0a<0图象定义域R值域单调性在上递减，在上递增在上递增，在上递减1奇偶性b＝0 时为偶函数，b≠0 时为非奇非偶函数图象特点① 对称轴：x＝－；②顶点：1．函数 y＝(x＋1)3，y＝x3＋1，y＝都是幂函数吗？提示：y＝(x＋1)3与 y＝x3＋1 不是幂函数；y＝是幂函数．2．幂函数的图象能出现在第四象限吗？提示：不能．因为当 x＞0 时，根据幂运算，幂函数 y＝xα＞0 恒成立，所以幂函数在第四象限没有图象．3．ax2＋bx＋c>0(a≠0)与 ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的条件分别是什么？提示：(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立的充要条件是1．已知点 M 在幂函数 f(x)的图象上，则 f(x)的表达式为( )A．f(x)＝x2 B．f(x)＝x－2 C．f(x)＝x D．f(x)＝x解析：选 B 设 f(x)＝xα，则 3＝α，∴α＝－2.即 f(x)＝x－2.2．(教材习题改编)如图中曲线是幂函数 y＝xn在第一象限的图象．已知 n 取±2，±四个值，则相应于曲线 C1，C2，C3，C4的 n 值依次为( )A．－2，－，，2 B．2，，－，－2C．－，－2,2， D．2，，－2，－解析：选 B 由幂函数图象及其单调性之间的关系可知，曲线 C1，C2，C3，C4所对应的 n 依次为 2，，－，－2.3．函数 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，则 f(x)在区间(－5，－3)上( )A．先减后增 B．先增后减 C．单调递减 D．单调递增解析：选 D 因为 f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3 为偶函数，所以 2m＝0，即 m＝0.所以 f(x)＝－x2＋3.由二次函数的单调性可知，f(x)＝－x2＋3 在(－5，－3)上为增函数．4．已知 f(x)＝4x2－mx＋5 在[2，＋∞)上是增函数，则实数 m ...
