第十三节导数的应用 ( 二 ) 利用导数研究恒成立问题及参数求解典题导入[例 1] 已知函数 f(x)＝x2ln x－a(x2－1)，a∈R.(1)当 a＝－1 时，求曲线 f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(2)若当 x≥1 时，f(x)≥0 成立，求 a 的取值范围．[自主解答] (1)当 a＝－1 时，f(x)＝x2ln x＋x2－1，f′(x)＝2xln x＋3x.则曲线 f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为 f′(1)＝3，又 f(1)＝0，所以切线方程为 3x－y－3＝0.(2)f′(x)＝2xln x＋(1－2a)x＝x(2ln x＋1－2a)，其中 x≥1.当 a≤时，因为 x≥1，所以 f′(x)≥0，所以函数 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)≥f(1)＝0.当 a>时，令 f′(x)＝0，得 x＝ea－.若 x∈[1，ea－)，则 f′(x)<0，所以函数 f(x)在[1，ea－)上单调递减．所以当x∈[1，ea－)时，f(x)≤f(1)＝0，不符合题意．综上 a 的取值范围是.由题悟法利用导数解决参数问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为求函数在给定区间上的最值问题求解．(2)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立的问题．(3)已知函数的零点个数求参数的取值范围：利用函数的单调性、极值画出函数的大致图象，数形结合求解．以题试法1．设函数 f(x)＝x2＋ex－xex.(1)求 f(x)的单调区间；(2)若当 x∈[－2,2]时，不等式 f(x)>m 恒成立，求实数 m 的取值范围．解：(1)函数 f(x)的定义域为(－∞，＋∞)， f′(x)＝x＋ex－(ex＋xex)＝x(1－ex)，若 x＝0，则 f′(x)＝0；若 x<0，则 1－ex>0，所以 f′(x)<0；若 x>0，则 1－ex<0，所以 f′(x)<0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数，即 f(x)的单调减区间为(－∞，＋∞)．(2)由(1)知，f(x)在[－2,2]上单调递减．故[f(x)]min＝f(2)＝2－e2，∴m<2－e2时，不等式 f(x)>m 恒成立．故 m 的取值范围为(－∞，2－e2)．利用导数证明不等式问题典题导入[例 2] 已知 f(x)＝ax－ln x，x∈(0，e]，g(x)＝，其中 e 是自然常数，a∈R.(1)讨论 a＝1 时，函数 f(x)的单调性和极值；(2)求证：在(1)的条件下，f(x)>g(x)＋.[自主解答] (1) f(x)＝x－ln x，f′(x)＝1－＝，∴当 00，此时 f(x)单调递增．∴f(x)的极小值为 f(1)＝1.(2)证明：由(1)知[f(x)]min＝1.又 g′(x)＝，∴当 00，...
