4.5.2 利用数量积计算长度和角度学习目标重点难点1．记住向量模的计算公式，并应用这一公式求向量的模；2．记住向量的夹角余弦公式，并能应用公式求两个向量的夹角；3．记住两个向量垂直的条件；4．记住向量的乘法公式，并能应用；5．知道什么是余弦定理.重点：学会用向量的模、夹角余弦公式、乘法公式求向量的模、夹角等；难点：模与夹角的综合问题；疑点：向量数量积与实数乘法运算的区别与联系.1．长度公式利用数量积计算向量的模(即长度)的公式：|a|＝(长度公式)．记 a2＝a·a，则 a 2 ＝ | a | 2，长度公式成为|a|＝.2．夹角余弦公式夹角余弦公式：对于任意两个非零向量 a，b，有：cos 〈 a ， b 〉＝＝ .3．向量垂直条件对任意两个向量 a，b(不论它们是否为零)，都有 a·b＝0⇔a⊥b.4．向量乘法公式(1)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2；(2)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；(3)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.5．余弦定理余弦定理：已知两边 CA，CB 的长度及夹角 C 的大小，可以求出第三边 AB 的长度|AB|＝.已知三边长可以求出任意一个内角的余弦，从而求出这个内角 cos C ＝ .预习交流根据余弦定理怎样推导勾股定理？提示：根据余弦定理 cos C＝，若∠C＝90°，则△ABC 为直角三角形，cos C＝0，余弦定理就变成|AB|2＝|CA|2＋|CB|2.在预习中，还有哪些问题需要你在听课时加以关注？请在下列表格中做个备忘吧！我的学困点我的学疑点一、向量模的计算问题已知|a|＝2，|b|＝3，〈a，b〉＝120°，求：(1)a·b；(2)(2a－b)·(a＋3b)；(3)|3a＋b|；(4)|a－2b|.思路分析：对于(1)和(2)，可按照数量积的定义或先按乘法公式展开，再应用数量积定义计算；对于(3)和(4)，可根据向量模的公式|a|＝，转化为数量积的计算问题．解：(1)a·b＝|a||b|cos 〈a，b〉＝2×3×cos 120°＝－3.(2)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.(3)|3a＋b|＝＝＝＝3.(4)|a－2b|＝＝＝＝2.1．已知向量 a 与 b 的夹角为 60°，|a|＝3，|b|＝2，则|a＋b|等于( )A．5 B．－5 C．19 D．答案：D解析：因为|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝9＋2×3×2×cos 60°＋4＝19，所以|a＋b|＝.2．已知向量 a 与 b 的夹角为 120°，且|a|＝|b|＝4，那么 b·(3a＋b)的值为________．答案：－8解析：b·(3a＋b)＝3a·b＋|b|2＝3|a||b|cos 120°＋16＝－8.利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下：(1)a2＝a·a＝|a|2，或|a|＝....
