第五篇 平面向量第 1 讲 平面向量的概念及其线性运算知 识 梳 理1．向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作 0单位向量长度等于 1 个单位 的向量非零向量 a 的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0 与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0 的相反向量为 02.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求 a 与 b 的相反向量－b 的和的运算叫做 a 与b 的差三角形法则a－b＝a＋(－b)数乘求实数 λ 与向量 a 的积的运算(1)|λa|＝|λ||a|；(2)当λ＞0 时，λa 的方向与 a的方向相同；当 λ＜0时，λa 的方向与 a 的方向相反；当 λ＝0 时，λa＝0λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理1向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.辨 析 感 悟1．对共线向量的理解(1)若向量 a，b 共线，则向量 a，b 的方向相同．(×)(2)若 a∥b，b∥c，则 a∥c.(×)(3)(2013·郑州调研改编)设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量 a＋λb 与 2a－b 共线，则 λ＝－.(√)2．对向量线性运算的应用(4)AB＋BC＋CD＝AD.(√)(5)(教材习题改编)在△ABC 中，D 是 BC 的中点，则AD＝(AC＋AB)．(√)[感悟·提升]1．一个区别 两个向量共线与两条线段共线不同，前者的起点可以不同，而后者必须在同一直线上．同样，两个平行向量与两条平行直线也是不同的，因为两个平行向量可以移到同一直线上．2．两个防范 一是两个向量共线，则它们的方向相同或相反；如(1)；二是注重零向量的特殊性，如(2).考点一 平面向量的有关概念【例 1】 给出下列命题：① 若|a|＝|b|，则 a＝b；②若 A，B，C，D 是不共线的四点，则AB＝DC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要条件；③若 a＝b，b＝c，则 a＝c；④ a＝b 的充要条件是|a|＝|b|且 a∥b.其中真命题的序号是________．解析 ①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．② 正确． AB＝DC，∴|AB|＝|DC|且AB∥DC...
