第 35 讲 整数的性质初等数论的基本研究对象是整数．两个整数的和、差、积都是整数，但商却不一定是整数．由此引出了数论中最基本的概念：整除．整除性理论是初等数论中最基础的部分，它是在带余除法的基础上建立起来的．整数 a 除以整数 b (b≠0)，可以将 a 表示为 a=bq+r，这里 q，r 是整数，且 0≤r＜b．q 称为 a 除以 b 所得的商，r 称为 a 除以 b 所得的余数．当 r=0 时，a=bq，称 a 能被 b 整除，或称 b 整除 a，记为 b | a，b 叫做 a 的因数，a 叫做 b的倍数；q 取 1，则 a=b，a 也是它本身的因数．当 r≠0 时，称 a 不能被 b 整除，b 不整除 a，记作 b├ a． 若 c | a，c | b，则称 c 是 a，b 的公因数，a，b 的最大公因数 d 记为(a，b)．若 a | c，b | c，则称 c 是 a，b 的公倍数，a，b 的最小公倍数 M 记为[a，b]．一个正整数，按它的正因数个数可以分为三类．只有一个正因数的正整数是 1；有两个正因数的正整数称为素数(质数)，素数的正因数只有 1 和它本身；正因数个数超过两个的正整数称为合数，合数除了 1 和它本身外还有其他正因数．任何一个大于 1 的整数均可分解为素数的乘积，若不考虑素数相乘的前后顺序，则分解式是惟一的．一个整数分解成素数的乘积时，其中有些素数可能重复出现，把分解式中相同的素数的积写成幂的形式，大于 1 的整数 a 可以表示为：a=，其中 i=l，2，…，s． 以上式子称为 a 的标准分解式．大于 l 的整数的标准分解式是惟一的(不考虑乘积的先后顺序)．若 a 的标准分解式是 a=，其中 i=l，2，…，s，则 d 是 a 的正因数的充要条件是 d=，其中0≤βi≤αi，i=l，2，…，s． 由此可知，a 的正因数的个数为 d(a)=(α1+1) (α2+1)…(αs+1) ．由 a 的标准分解式 a= (i=l，2，…，s)，若 a 是整数的 k 次方，则αi(i=l，2，…，s)是 k 的倍数．若 a 是整数的平方，则 αi(i=l，2，…，s)是偶数．推论：设 a=bc，且(b，c)=1，若 a 是整数的 k 次方，则 b，c 也是整数的 k 次方．若 a 是整数的平方，则 b，c 也是整数的平方．A 类例题 例 1．若任何三个连续自然数的立方和都能被正整数 a 整除，则这样的 a 的最大值是（ ）A. 9 B. 3 C. 2 D. 1 分析 观察最小的三个连续自然数的立方和 36，a 是它的约数，a 不会超过 36，不能排除任何选择支；观...
