【精品】高一数学 5.10解斜三角形应用举例（备课资料） 大纲人教版必修

●备课资料1.利用余弦定理证明正弦定理在△ABC 中，已知 a2＝b2＋c2－2bc·cosA，b2＝c2＋a2－2cacosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.求证：CcBbAasinsinsin.证明：由 a2＝b2＋c2－2bccosA，得 cosA＝bcacb2222∴sin2A＝1－cos2A＝1－（bcacb2222）222222222222222224))()()((4)2)(2()2()()2(cbcbacbaacbacbcbacbbcacbbcbcacbbc∴))()()((4sin22222cbacbacbacbacbaAa记该式右端为 M，同理可得MCcMBb2222sin,sin.∴CcBbAa222222sinsinsin.∴CcBbAasinsinsin2.应用举例如图，在海岸 A 处发现北偏东 45°方向，距 A 处（ 3 －1）海里的 B 处有一艘走私船.在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以 10 3 海里／时的速度追截走私船，此时走私船正以 10 海里／时的速度，从 B 处向北偏东 30°方向逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间.解：设缉私船应沿 CD 方向行驶 t 小时，才能最快截获（在 D 点）走私船，则 CD＝10 3 t海里，BD＝10t 海里.∵BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cosA网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网1＝（ 3 －1）2＋22－2（ 3 －1）·2cos120°＝6∴BC＝6∵ABCACABCsinsin∴sinABC＝226120sin2sinBCAAC∴∠ABC＝45°，∴B 点在 C 点的正东方向上，∴∠CBD＝90°＋30°＝120°∵CBDCDBCDBDsinsin∴sinBCD＝21310120sin10sinttCDCBDBD，∴∠BCD＝30°∴∠DCE＝90°－30°＝60°由∠CBD＝120°，∠BCD＝30°得∠D＝30°∴BD＝BC，即 10t＝6∴t＝106 （小时）≈15（分钟）答：缉私船沿北偏东 60°的方向行驶，才能最快截获走私船，需时约 15 分钟.●备课资料能力训练题1.海中有一小岛 B，周围 3．8 海里有暗礁，军舰由西向东航行到 A，望见岛在北 75°东，航行 8 海里到 C，望见岛 B 在北 60°东，若此舰不改变航向继续前进，有无触礁危险?答案：不会触礁.2.直线 AB 外有一点 C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以 80 km／h 速度由 A 向 B 行驶，同时摩托车以 50 公里的时速由 B 向 C 行驶，问运动开始几小时后，两车的距离最小.答案：约 1.3 小时.网站：http://www.zbjy.cn 论坛：http://bbs.zbjy.cn 版权所有@中报教育网2