§3.2 导数与函数的单调性、极值、最值1． 函数的单调性设函数 y＝f(x)在区间(a，b)内可导，如果在(a，b)内，f ′ ( x )>0 ，则 f(x)在此区间是增函数；如果在(a，b)内，f ′ ( x )<0 ，则 f(x)在此区间是减函数．2． 函数的极值已知函数 y＝f(x)，设 x0 是定义域(a，b)内任一点，如果对 x0 附近所有点 x，都有f ( x )< f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极大值，记作 y 极大＝ f ( x 0)，并把 x0称为函数 f(x)的一个极大值点；如果在 x0附近都有 f ( x )> f ( x 0)，则称函数 f(x)在点 x0处取极小值，记作 y 极小＝ f ( x 0)，并把 x0称为函数 f(x)的一个极小值点．3． 求可导函数极值的步骤(1)求导数 f′(x)；(2)求方程 f ′ ( x ) ＝ 0 的所有实数根；(3)考察在每个根 x0附近，从左到右，导函数 f′(x)的符号如何变化．如果 f′(x)的符号由正变负，则 f(x0)是极大值；如果 f′(x)的符号由负变正，则 f(x0)是极小值．如果在 f′(x)＝0 的根 x＝x0的左、右侧，f′(x)符号不变，则 f(x0)不是极值．4． 函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数 f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数 f(x)在[a，b]上单调递增，则 f ( a ) 为函数的最小值，f ( b ) 为函数的最大值；若函数 f(x)在[a，b]上单调递减，则 f ( a ) 为函数的最大值，f ( b ) 为函数的最小值．(3)求可导函数 f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤如下：① 求 f(x)在(a，b)内的极值；② 将 f(x)的各极值与 f ( a ) ， f ( b ) 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f′(x)>0 是 f(x)为增函数的充要条件．( × )(2)函数在某区间上或定义域内极大值是唯一的．( × )(3)函数的极大值不一定比极小值大．( √ )(4)对可导函数 f(x)，f′(x0)＝0 是 x0点为极值点的充要条件．( × )(5)函数的最大值不一定是极大值，函数的最小值也不一定是极小值．( √ )(6)函数 f(x)＝xsin x 有无数个极值点．( √ )2． 函数 f(x)＝x2－2ln x 的单调减区间是 ( )A．(0,1) B．(1，＋∞)C．(－∞，1) D．(－1,1)答案 A解析 f′(x)＝2x－＝(x>0)．∴当 x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)为减函数；当 x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)为增函数．3． (2013·浙江)已知 e ...
