§7.2 均值不等式1． 均值不等式≤(1)均值不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．2． 几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)．(2)＋≥2(a，b 同号)．(3)ab≤2 (a，b∈R)．(4)≥2 (a，b∈R)．3． 算术平均值与几何平均值设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均值为，几何平均值为，均值不等式可叙述为两个正数的算术平均值大于或等于它们的几何平均值．4． 利用均值不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值是 2.(简记：积定和最小)(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy 有最大值是.(简记：和定积最大)1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数 y＝x＋的最小值是 2.( × )(2)ab≤()2成立的条件是 ab>0.( × )(3)函数 f(x)＝cos x＋，x∈(0，)的最小值等于 4.( × )(4)x>0 且 y>0 是＋≥2 的充要条件．( × )(5)若 a>0，则 a3＋的最小值为 2.( × )(6)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca(a，b，c∈R)．( √ )2． 当 x>1 时，关于函数 f(x)＝x＋，下列叙述正确的是( )A．函数 f(x)有最小值 2 B．函数 f(x)有最大值 2C．函数 f(x)有最小值 3 D．函数 f(x)有最大值 3答案 C3． 若 a，b∈R，且 ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2C.＋> D.＋≥2答案 D解析 a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A 错误．对于 B、C，当 a<0，b<0 时，明显错误．对于 D， ab>0，∴＋≥2 ＝2.4． 设 x，y∈R，a>1，b>1，若 ax＝by＝3，a＋b＝2，则＋的最大值为( )A．2 B. C．1 D.答案 C解析 由 ax＝by＝3，得：x＝loga3，y＝logb3，由 a>1，b>1 知 x>0，y>0，＋＝log3a＋log3b＝log3ab≤log32＝1，当且仅当 a＝b＝时“＝”成立，则＋的最大值为 1.5． (2013·天津)设 a＋b＝2，b>0，则当 a＝________时，＋取得最小值．答案 －2解析 由于 a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于 b>0，|a|>0，所以＋≥2 ＝1，因此当a>0 时，＋的最小值是＋1＝；当 a<0 时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即 a＝－2.题型一 利用均值不等式求最值例 1 (1)已知 x>0，y>0，且 2x＋y＝1，则＋的最小值为________；(2)当 x>0 时，则 f(x)＝的最大值为________．思维启迪 利用均值不等式求最值可以先对式...
