§10.3 二项式定理1． 二项式定理(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N＋)．这个公式所表示的规律叫做二项式定理，等式右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数 C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的 C a n － r b r 叫做二项展开式的通项，用 Tr＋1表示，通项是展开式的第 r ＋ 1 项，即 Tr＋1＝C a n － r b r (其中 0≤r≤n，r∈N，n∈N＋)．2． 二项展开式形式上的特点(1)项数为 n ＋ 1 .(2)各项的次数都等于二项式的幂指数 n，即 a 与 b 的指数的和为 n.(3)字母 a 按降幂排列，从第一项开始，次数由 n 逐项减 1 直到零；字母 b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增 1 直到 n.(4)二项式的系数从 C，C，一直到 C，C.3． 二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即 C＝C.(2)增减性与最大值：二项式系数 C，当 r<时，二项式系数是递增的；当 r>时，二项式系数是递减的．当 n 是偶数时，那么其展开式中间一项的二项式系数最大．当 n 是奇数时，那么其展开式中间两项和的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于 2n，即 C ＋ C ＋ C ＋ … ＋ C ＋ … ＋ C ＝2n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即 C ＋ C ＋ C ＋ … ＝C ＋ C ＋ C ＋ … ＝2 n － 1 .1． 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)Can－rbr是二项展开式的第 r 项．( × )(2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．( × )(3)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与 a，b 无关．( √ )(4)在(1－x)9的展开式中系数最大的项是第五、第六两项．( × )2． (1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于 ( )A．80 B．40C．20 D．10答案 B解析 Tr＋1＝Can－rbr＝C15－r(2x)r＝C×2r×xr，令 r＝2，则可得含 x2项的系数为 C×22＝40.3． 在(－)n的展开式中，只有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中常数项是( )A．－7 B．7C．－28 D．28答案 B解析 由题意有 n＝8，Tr＋1＝C()8－r(－1)rx8－r，r＝6 时为常数项，常数项为 7.4． 已知 C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝729，则 C＋C＋C＋…＋C 等于( )A．63 B．64 C．31 D．32答案 A解析 逆用二项式定理得 C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋...
