第二讲 不等式的证明及著名不等式1．基本不等式(1)定理：如果 a，b∈R，那么 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立．(2)定理(基本不等式)：如果 a，b>0，那么____，当且仅当______时，等号成立．也可以表述为：两个____的算术平均__________________它们的几何平均．(3)利用基本不等式求最值：对两个正实数 x，y，① 如果它们的和 S 是定值，则当且仅当______时，它们的积 P 取得最____值；② 如果它们的积 P 是定值，则当且仅当______时，它们的和 S 取得最____值．2．三个正数的算术—几何平均不等式(1)定理 如果 a，b，c 均为正数，那么____，当且仅当________时，等号成立．即三个正数的算术平均________它们的几何平均．(2)基本不等式的推广对于 n 个正数 a1，a2，…，an，它们的算术平均________它们的几何平均，即____，当且仅当______________时，等号成立．3．柯西不等式(1)设 a，b，c，d 均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当 ad＝bc 时等号成立．(2)设 a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn 是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当 bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数 k，使得 ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．(3)柯西不等式的向量形式：设 α，β 是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当 β 是零向量，或存在实数 k，使 α＝kβ 时，等号成立．4．证明不等式的方法(1)比较法① 求差比较法知道 a>b⇔a－b>0，ab，只要证明______即可，这种方法称为求差比较法．② 求商比较法由 a>b>0⇔>1 且 a>0，b>0，因此当 a>0，b>0 时要证明 a>b，只要证明______即可，这种方法称为求商比较法．(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__________，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等)．这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法．(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式______的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立．(5)放缩法所谓放缩法，即要把所证不等式的一边适当地____________，以利于化简，并使它与不等式的另一边的不...
