§2.8 函数与方程2014 高考会这样考 1.考查函数零点的个数和取值范围；2.利用函数零点求解参数的取值范围；3.利用二分法求方程近似解；4.与实际问题相联系，考查数学应用能力．复习备考要这样做 1.准确理解函数零点与方程的根，函数图象与 x 轴交点之间的关系，能根据零点存在性定理和二分法求方程近似解；2.会利用函数值域求解“a＝f(x)有解”型问题；3.利用数形结合思想解决有关函数零点的个数问题．1． 函数的零点(1)函数零点的定义对于函数 y＝f(x) (x∈D)，把使 f ( x ) ＝ 0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x) (x∈D)的零点．(2)几个等价关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如 果 函 数 y ＝ f(x) 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 并 且 有f ( a )· f ( b )<0 ，那么函数 y＝f(x)在区间( a ， b ) 内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0，这个__c__也就是 f(x)＝0 的根．2． 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系Δ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的交点( x 1,0)，( x 2,0)( x 1,0)无交点零点个数两个一个无3. 二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a )· f ( b )<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：① 确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε；②求区间(a，b)的中点 c；③计算 f(c)；(ⅰ)若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点；1(ⅱ)若 f(a)·f(c)<0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))；(ⅲ)若 f(c)·f(b)<0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))．④ 判断是否达到精确度 ε：即若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复②③④.[难点正本 疑点清源](1)函数的零点不是点，是方程 f(x)＝0 的根；(2)函数零点的存在定理只能判断函数在某个区间上的变号零点，而不能判断函数的不变号零点，而且连续函数在一个区间的端点处函数值异号是这个函数在这个区间上存在零点的充分条件，而不是必要条件．(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，...
